Tìm các số nguyên dương  \(x,\;y\)  thỏa mãn: \({7...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Xét số dư của phép chia VP cho 8, từ đó suy ra \(x\) chẵn, đặt \(x = 2n\)  và đương về phương trình tích.

Giải chi tiết:

Phương trình : \({7^x} = {3.2^y} + 1.\;\;\;\left( * \right)\)

+) Xét \(x = 1\)  ta có : \(\left( * \right) \Leftrightarrow 7 = {3.2^y} + 1 \Leftrightarrow y = 1.\) 

+) Xét \(x = 2\)  ta có : \(\left( * \right) \Leftrightarrow {7^2} = {3.2^y} + 1 \Leftrightarrow {2^y} = 16 \Leftrightarrow y = 4.\)

+) Xét \(x > 2\) và \(y > 5\)  ta có :

Vì :  \({3.2^y} \equiv 0\;\;\left( {\bmod \;\,8} \right) \Rightarrow VP \equiv 1\;\;\left( {\bmod \;\,8} \right) \Rightarrow {7^x} \equiv 1\;\;\left( {\bmod \;\,8} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow x\; \vdots \;2 \Rightarrow x = 2n\\ \Rightarrow \left( * \right) \Leftrightarrow {7^{2n - 1}} - 1 = {3.2^y} \Leftrightarrow \left( {{7^n} - 1} \right)\left( {{7^n} + 1} \right) = {3.2^y}\\ \Rightarrow \left( {{7^n} - 1} \right)\; \vdots \;3,\;\;{7^{n - 1}} > 3 \Rightarrow \exists \;a,b:\left\{ \begin{array}{l}{7^n} + 1 = {2^a}\\{7^n} - 1 = {3.2^b}\end{array} \right.\;\;\;\left( {a + b = y} \right).\\ \Rightarrow {2^a} - {3.2^b} = 2 \Leftrightarrow {2^b}\left( {{2^{a - b}} - 3} \right) = 2\\ \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}{2^b} = 1\;\;\\{2^{a - b}} - 3 = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 0\\{2^{a - b}} = 5\end{array} \right. \Rightarrow VN.\\\left\{ \begin{array}{l}{2^b} = 2\\{2^{a - b}} - 3 = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 1\\{2^{a - b}} = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 1\\a - b = 2\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}b = 1\\a = 3\end{array} \right.\;\;\left( {tm} \right)\end{array} \right.\\ \Rightarrow {7^n} = {2^a} - 1 = 8 - 1 = 7\\ \Rightarrow n = 1 \Rightarrow \;x = 2n = 2.\end{array}\)

Vậy các số nguyên dương \(x,\;y\)  thỏa mãn là : \(\left( {x;\;y} \right) \in \left\{ {\left( {1;\;1} \right),\;\;\left( {2;\;4} \right)} \right\}.\)

Chọn D.