Cho các số thực x, y thỏa mãn \(\left( {x + \sqrt...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Chú ý sử dụng phép liên hợp.

Giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\;\;\;\;\left( {x + \sqrt {2018 + {x^2}} } \right)\left( {y + \sqrt {2018 + {y^2}} } \right) = 2018.\\ \Leftrightarrow x + \sqrt {2018 + {x^2}}  = \frac{{2018}}{{y + \sqrt {2018 + {y^2}} }}\\ \Leftrightarrow x + \sqrt {2018 + {x^2}}  = \frac{{2018\left( {\sqrt {2018 + {y^2}}  - y} \right)}}{{2018 + {y^2} - {y^2}}}\\ \Leftrightarrow x + \sqrt {2018 + {x^2}}  = \sqrt {2018 + {y^2}}  - y\;\;\;\left( 1 \right)\end{array}\)

Biến đổi tương tự ta có:

\(\;\;\;\sqrt {2018 + {x^2}}  - x = \sqrt {2018 + {y^2}}  + y\;\;\;\left( 2 \right)\)

Cộng vế với vế của \(\left( 1 \right)\) và \(\left( 2 \right)\)  ta được:

\(\begin{array}{l}\;\;\;\;\sqrt {2018 + {x^2}}  = \sqrt {2018 + {y^2}} \\ \Leftrightarrow 2018 + {x^2} = 2018 + {y^2}\\ \Leftrightarrow {x^2} = {y^2} \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = y\\x =  - y\end{array} \right.\end{array}\)

+) Với \(x = y\) ta có:

\(\begin{array}{l}\left( 1 \right) \Leftrightarrow x + \sqrt {2018 + {x^2}}  = \sqrt {2018 + {x^2}}  - x\\ \Leftrightarrow 2x = 0 \Leftrightarrow x = 0\\ \Rightarrow x = y = 0.\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^{2019}} + {y^{2019}} = 0\\x + y = 0\end{array} \right..\\ \Rightarrow Q = {x^{2019}} + {y^{2019}} + 2018\left( {x + y} \right) + 2020 = 2020.\end{array}\) 

+) Với \(x =  - y\) ta có:  \(\left\{ \begin{array}{l}{x^{2019}} + {y^{2019}} = 0\\x + y = 0\end{array} \right. \Rightarrow Q = 2020.\)

Vậy \(Q = 2020.\)

Chọn D.