Cho $a,\;b,\;c$ là độ dài 3 cạnh của một tam giá...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

Theo đề bài ta có chu vi tam giác bằng 4 nên: $a + b + c = 4 \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}b + c = 4 - a\\a + c = 4 - b\\a + b = 4 - c\end{array} \right.$

Khi đó ta có:

$\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + 8 > 9\left( {\frac{1}{{a + b}} + \frac{1}{{b + c}} + \frac{1}{{c + a}}} \right)\\ \Leftrightarrow 9\left( {\frac{1}{{a + b}} + \frac{1}{{b + c}} + \frac{1}{{c + a}}} \right) - \,\,\,\left( {\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}} \right) < 8\\ \Leftrightarrow \left( {\frac{9}{{4 - a}} - \frac{1}{a}} \right) + \left( {\frac{9}{{4 - b}} - \frac{1}{b}} \right) + \left( {\frac{9}{{4 - c}} - \frac{1}{c}} \right) < 8\end{array}$
Vì $a,\,\,b,\,\,c$ là độ dài ba cạnh của tam giác nên áp dụng bất đẳng thức tam giác ta có:

$\begin{array}{l}b + c > a \Leftrightarrow a + b + c > 2a \Leftrightarrow 4 > 2a \Leftrightarrow a < 2.\\ \Rightarrow {\left( {a - 1} \right)^2}\left( {a - 2} \right) \le 0\\ \Leftrightarrow \left( {{a^2} - 2a + 1} \right)\left( {a - 2} \right) \le 0\\ \Leftrightarrow {a^3} - 4{a^2} + 5a - 2 \le 0\\ \Rightarrow \frac{{{a^3} - 4{a^2} + 5a - 2}}{{a\left( {4 - a} \right)}} \le 0\,\,\,\left( {do\,\,\,a\left( {4 - a} \right) < 0} \right)\\ \Leftrightarrow  - a + \frac{{5a - 2}}{{a\left( {4 - a} \right)}} \le 0 \Leftrightarrow \frac{{10a - 4}}{{a\left( {4 - a} \right)}} \le 2a \Leftrightarrow \frac{9}{{4 - a}} - \frac{1}{a} \le 2a\end{array}$

Chứng minh tương tự ta có: $\left\{ \begin{array}{l}\frac{9}{{4 - b}} - \frac{1}{b} \le 2b\\\frac{9}{{4 - a}} - \frac{1}{a} \le 2c\end{array} \right.$

$\Rightarrow \left( {\frac{9}{{4 - a}} - \frac{1}{a}} \right) + \left( {\frac{9}{{4 - b}} - \frac{1}{b}} \right) + \left( {\frac{9}{{4 - c}} - \frac{1}{c}} \right) \le 2a + 2b + 2c = 2\left( {a + b + c} \right) = 2.4 = 8.$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = b = c = 1\\a + b + c = 4\end{array} \right. \Rightarrow$ hệ phương trình vô nghiệm.

$\Rightarrow \left( {\frac{9}{{4 - a}} - \frac{1}{a}} \right) + \left( {\frac{9}{{4 - b}} - \frac{1}{b}} \right) + \left( {\frac{9}{{4 - c}} - \frac{1}{c}} \right) < 8.$

Vậy $\,\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + 8 > 9\left( {\frac{1}{{a + b}} + \frac{1}{{b + c}} + \frac{1}{{c + a}}} \right).$