a) Chứng minh rằng \({x^4} - x + \frac{1}{2} >...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a) Thêm bớt để tạo hằng đẳng thức, chứng minh dấu bằng không xảy ra.

b) Áp dụng BĐT Cauchy cho hai số \({x^2};{y^2}\).

Giải chi tiết:

a) Chứng minh rằng \({x^4} - x + \frac{1}{2} > 0\) với mọi số thực x.

Ta có \({x^4} - x + \frac{1}{2} = {x^4} - {x^2} + \frac{1}{4} + {x^2} - x + \frac{1}{4} = {\left( {{x^2} - \frac{1}{2}} \right)^2} + {\left( {x - \frac{1}{2}} \right)^2} \ge 0\)

Dấu bằng xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - \frac{1}{2} = 0\\x - \frac{1}{2} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} = \frac{1}{2}\\x = \frac{1}{2}\end{array} \right.\) (vô lí), do đó dấu bằng không thể xảy ra.

Vậy \({x^4} - x + \frac{1}{2} > 0\) với mọi số thực x.

b) Cho x, y là các số thực thỏa mãn điều kiện \({x^2} - xy + {y^2} = 3\). Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức \(P = {x^2} + {y^2}\).

Ta có \({x^2} - xy + {y^2} = 3 \Rightarrow P - xy = 3 \Rightarrow xy = P - 3\)

Áp dụng BĐT Cauchy cho hai số \({x^2};\,\,{y^2}\) ta có \({x^2} + {y^2} \ge 2\sqrt {{x^2}{y^2}}  = 2\left| {xy} \right| \Rightarrow \frac{{{x^2} + {y^2}}}{2} \ge \left| {xy} \right|\)

\(\begin{array}{l} \Rightarrow  - \frac{{{x^2} + {y^2}}}{2} \le xy \le \frac{{{x^2} + {y^2}}}{2} \Rightarrow  - \frac{P}{2} \le xy \le \frac{P}{2}\\ \Rightarrow  - \frac{P}{2} \le P - 3 \le \frac{P}{2}\\ \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} - \frac{P}{2} \le P - 3\\P - 3 \le \frac{P}{2}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}3 \le \frac{{3P}}{2}\\\frac{P}{2} \le 3\end{array} \right. \Leftrightarrow 2 \le P \le 6\end{array}\)

Dấu bằng xảy ra \( \Rightarrow {x^2} = {y^2} \Leftrightarrow \left| x \right| = \left| y \right|\)

\( \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}{x^2} + {x^2} + {x^2} = 3\\{x^2} - {x^2} + {x^2} = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left| x \right| = \left| y \right| = 1\\\left| x \right| = \left| y \right| = \sqrt 3 \end{array} \right.\) 

Vậy \({P_{\max }} = 6 \Leftrightarrow \left| x \right| = \left| y \right| = \sqrt 3 ;\,\,{P_{\min }} = 2 \Leftrightarrow \left| x \right| = \left| y \right| = 1\).