Cho biểu thức: \(P=\left( \frac{1}{y-\sqrt{y}}+\fr...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng hẳng đẳng thức và quy đồng mẫu số để rút gọn P từ đó giải bất phương trình tìm y.

Giải chi tiết:

Cho biểu thức: \(P=\left( \frac{1}{y-\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{y}-1} \right):\frac{\sqrt{y}}{y-2\sqrt{y}+1}\ \ (y>0,\ y\ne 1).\)

a)     Rút gọn P.

Ta có:

\(\begin{align}  & P=\left( \frac{1}{y-\sqrt{y}}+\frac{1}{\sqrt{y}-1} \right):\frac{\sqrt{y}}{y-2\sqrt{y}+1}\ \ (y>0,y\ne 1) \\  & \ \ \ =\left( \frac{1}{\sqrt{y}\left( \sqrt{y}-1 \right)}+\frac{1}{\sqrt{y}-1} \right):\frac{\sqrt{y}}{{{\left( \sqrt{y}-1 \right)}^{2}}} \\  & \ \ \ =\frac{1+\sqrt{y}}{\sqrt{y}\left( \sqrt{y}-1 \right)}.\frac{{{\left( \sqrt{y}-1 \right)}^{2}}}{\sqrt{y}}=\frac{\left( \sqrt{y}+1 \right)\left( \sqrt{y}-1 \right)}{\sqrt{y.y}}=\frac{y-1}{y}. \\ \end{align}\)

b)     Tìm giá trị của y để: \(P\le \frac{1}{2}.\)

Điều kiện: \(y>0,\ \ y\ne 1.\)

Để  \(P\le \frac{1}{2}\) thì ta có:

\(\frac{y-1}{y}\le \frac{1}{2}\Leftrightarrow 2y-2\le y\Leftrightarrow y\le 2.\)

Kết hợp điều kiện ta có: \(0<y\le 2,\ \ y\ne 1.\)         

Chọn A