Cho các số thực dương a, b, c th...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

-        Gợi ý: biến đổi 18( a + b + c) theo a, \(\frac{1}{a}\) và tương tự để biến thành \({{a}^{2}}\).

Giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{align}  & \ \ \ 18(a+b+c)=8\left( a+b+c \right)+\left( a+b+c \right)+9\left( a+b+c \right) \\ & =\left( 8a+\frac{1}{a}+9a \right)+\left( 8b+\frac{1}{b}+9b \right)+\left( 8c+\frac{1}{c}+9c \right) \\ & =\frac{8{{a}^{2}}+1}{a}+9a+\frac{8{{b}^{2}}+1}{b}+9b+\frac{8{{c}^{2}}+1}{c}+9c. \\\end{align}\)

Áp dụng BĐT Cô Si ta có:

\(\begin{align}  & \ \ \ \ \frac{8{{a}^{2}}+1}{a}+9a+\frac{8{{b}^{2}}+1}{b}+9b+\frac{8{{c}^{2}}+1}{c}+9c\ge 6\sqrt{8{{a}^{2}}+1}+6\sqrt{8{{b}^{2}}+1}+6\sqrt{8{{c}^{2}}+1} \\ & \Leftrightarrow 18\left( a+b+c \right)\ge 6\sqrt{8{{a}^{2}}+1}+6\sqrt{8{{b}^{2}}+1}+6\sqrt{8{{c}^{2}}+1} \\ & \Leftrightarrow 3\left( a+b+c \right)\ge \sqrt{8{{a}^{2}}+1}+\sqrt{8{{b}^{2}}+1}+\sqrt{8{{c}^{2}}+1}\ \ \ \left( dpcm \right). \\\end{align}\)

Dấu = xảy ra khi và chỉ khi : \(a=b=c.\)