Giả sử \(ax + by + cz = 0\). Chứng minh rằng: \(\d...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Xét mẫu thức của kết luận.

Giải chi tiết:

Xét mẫu:

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,bc{\left( {y - z} \right)^2} + ca{\left( {z - x} \right)^2} + ab{\left( {x - y} \right)^2}\\ = \left( {ab + ac} \right){x^2} + \left( {ab + bc} \right){y^2} + \left( {bc + ac} \right){z^2} - 2abxy - 2bcxy - 2acxy\\ = \left[ {\left( {ab + ac} \right){x^2} + {a^2}{x^2} + \left( {ab + bc} \right){y^2} + {b^2}{y^2} + \left( {bc + ac} \right){z^2} + {c^2}{z^2}} \right]\\ - \left( {{a^2}{x^2} + {b^2}{y^2} + {c^2}{z^2} + 2ab + 2aczx + 2bcyz} \right)\\ = \left( {a + b + c} \right)\left( {a{x^2} + b{y^2} + c{z^2}} \right) - {\left( {ax + by + cz} \right)^2} = \left( {a + b + c} \right)\left( {a{x^2} + b{y^2} + c{z^2}} \right)\end{array}\)

Do \(ax + by + cz = 0\)

Từ đó, ta được: \(\dfrac{{a{x^2} + b{y^2} + c{z^2}}}{{bc{{\left( {y - z} \right)}^2} + ca{{\left( {z - x} \right)}^2} + ab{{\left( {x - y} \right)}^2}}} = \dfrac{1}{{a + b + c}}\)

Vậy với \(ax + by + cz = 0\), ta được \(\dfrac{{a{x^2} + b{y^2} + c{z^2}}}{{bc{{\left( {y - z} \right)}^2} + ca{{\left( {z - x} \right)}^2} + ab{{\left( {x - y} \right)}^2}}} = \dfrac{1}{{a + b + c}}\).