Chứng minh rằng \({{2}^{30}}+{{3}^{30}}\) chia hết...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Tìm số dư của \({2^{30}}\) và \({3^{30}}\) khi chia cho 13. Từ đó suy ra số dư của \({2^{30}} + {3^{30}}\) khi chia cho 13.

Giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}{2^6} \equiv  - 1\,\,\left( {\bmod \,\,13} \right) \Rightarrow {2^{30}} \equiv  - 1\,\,\left( {\bmod \,\,13} \right)\,\,\,\left( 1 \right)\\{3^3} \equiv 1\,\,\left( {\bmod \,\,13} \right) \Rightarrow {3^{30}} \equiv 1\,\,\left( {\bmod \,\,13} \right)\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)

Từ (1) và (2) suy ra: \({2^{30}} + {3^{30}} \equiv  - 1 + 1\,\,\left( {\bmod \,\,13} \right) \Leftrightarrow {2^{30}} + {3^{30}} \equiv 0\,\,\left( {\bmod \,\,13} \right)\)