Cho tam giác \(ABC\) có đường cao \(AH.\) Lấy \(D,...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Từ \(A\) kẻ đường thẳng song song với \(BC\) cắt \(HE,\,\,HD\) tại \(M,\,\,N.\)

- Chứng minh \(AM = AN\).

- Áp dụng định lí Ta-lét.

- Chứng minh \(\dfrac{{AD}}{{BD}}.\dfrac{{BH}}{{CH}}.\dfrac{{CE}}{{AE}} = 1\).

Giải chi tiết:

Từ \(A\) kẻ đường thẳng song song với \(BC\) cắt \(HE,\,\,HD\) tại \(M,\,\,N.\)

Xét tam giác \(MHN\). Do \(HA\) vừa là phân giác vừa là đường cao kẻ từ \(A\) \( \Rightarrow \Delta MHN\) cân tại \(H\).

\( \Rightarrow AM = AN\) (Đường cao đồng thời là đường trung tuyến).

Áp dụng định lí Ta-lét khi có \(MN\parallel BC\) ta có: \(\dfrac{{AD}}{{BD}} = \dfrac{{MA}}{{BH}};\,\,\dfrac{{CE}}{{AE}} = \dfrac{{CH}}{{AN}}\).

\( \Rightarrow \dfrac{{AD}}{{BD}}.\dfrac{{BH}}{{CH}}.\dfrac{{CE}}{{AE}} = \dfrac{{MA}}{{BH}}.\dfrac{{BH}}{{CH}}.\dfrac{{CH}}{{AN}} = \dfrac{{MA}}{{AN}} = 1.\)

Vậy \(AH,\,\,BE,\,\,CD\) đồng quy (đpcm).