Cho đường tròn (O; R) và dây cung \(AB = R\sqrt 3...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Chứng minh \(\angle BDP = \angle AOB\), sử dụng tính chất tam giác cân.

- Tính số đo góc AOB. Từ đó suy ra số đo các góc BMP và góc AMP.

- Chứng minh tứ giác BMOA là tứ giác nội tiếp.

- Chứng minh cung AI có số đo không đổi, từ đó suy ra I là điểm cố định.

Giải chi tiết:

Vẽ đường tròn ngoại tiếp OAB cắt tiếp tuyến của (O) tại A, B tại I.

Gọi \(H\) là trung điểm của AB \( \Rightarrow OH \bot AB\) (quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây cung).

Vì \(AB = R\sqrt 3 \) \( \Rightarrow BH = \frac{{R\sqrt 3 }}{2}\).

Xét tam giác vuông OHB có: \(\cos \angle OBH = \frac{{BH}}{{OB}} = \frac{{\sqrt 3 }}{2}\) \( \Rightarrow \angle OBH = {30^0}\).

Vì tam giác OAB cân tại O nên \(\angle OAB = \angle OBA = {30^0}\) \( \Rightarrow \angle AOB = {120^0}\) \( \Rightarrow \) số đo cung AB bằng \({120^0}\).

Ta có: \(\Delta BDP\) cân tại D \( \Rightarrow \angle OBA = \angle DPB\).

           \(\Delta OAB\) cân tại O \( \Rightarrow \angle OBA = \angle OAB\).

\( \Rightarrow \angle BDP = \angle AOB = {120^0}\) suy ra sđ cung BP của (D) = sđ cung AB của (O) \( = {120^0}\).

Tương tự số đo cung PA của (C) \( = {120^0}\).

Ta có \(\angle BMP = \frac{1}{2}sdcBP = {60^0}\).

          \(\angle AMP = \frac{1}{2}sdcAP = {60^0}\).

\( \Rightarrow \angle BMA = \angle BMP + \angle AMP = {60^0} + {60^0} = {120^0} = \angle AOB\).

Xét tứ giác BMOA , có \(\angle BMA = \angle AOB = {120^0}\) (cmt), do đó tứ giác BMOA nội tiếp hay M thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB.

\( \Rightarrow \) sđ cung IA = \(2\angle IAM = 2\angle PAM = {120^0}\) \( \Rightarrow \) Số đo cung IA không đổi. Mà A cố định nên I cố định.

Vậy PM luôn đi qua điểm I cố định.