Cho các số thực dương \(a,\,\,b,\,\,c\) thay đổi v...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

1) Chứng minh đẳng thức bằng phương pháp biến đổi tương đương.

2) Sử dụng bất đẳng thức Cô-si:  \(x + y \le \sqrt {2\left( {{x^2} + {y^2}} \right)} ;\,\,\,\frac{1}{{x + y}} \le \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right).\)

Giải chi tiết:

Cho các số thực dương \(a,\,\,b,\,\,c\) thay đổi và thỏa mãn \(ab + bc + ca + abc = 4.\)

1) Chứng minh \(\frac{1}{{a + 2}} + \frac{1}{{b + 2}} + \frac{1}{{c + 2}} = 1.\)

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\,\,\frac{1}{{a + 2}} + \frac{1}{{b + 2}} + \frac{1}{{c + 2}} = 1\\ \Leftrightarrow \left( {b + 2} \right)\left( {c + 2} \right) + \left( {a + 2} \right)\left( {c + 2} \right) + \left( {a + 2} \right)\left( {b + 2} \right) = \left( {a + 2} \right)\left( {b + 2} \right)\left( {c + 2} \right)\\ \Leftrightarrow bc + 2\left( {b + c} \right) + 4 + ac + 2\left( {a + c} \right) + 4 + ab + 2\left( {a + b} \right) + 4 = \left[ {ab + 2\left( {a + b} \right) + 4} \right]\left( {c + 2} \right)\\ \Leftrightarrow ab + bc + ca + 4\left( {a + b + c} \right) + 12 = abc + 2ab + 2c\left( {a + b} \right) + 4\left( {a + b} \right) + 4c + 8\\ \Leftrightarrow ab + bc + ca + 4\left( {a + b + c} \right) + 12 = abc + 2\left( {ab + bc + ca} \right) + 4\left( {a + b + c} \right) + 8\\ \Leftrightarrow abc + ab + bc + ca = 4\,\,\,\left( {luon\,\,\,dung} \right).\end{array}\)

Vậy ta có điều phải chứng minh.

2) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: \(P = \frac{1}{{\sqrt {2\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}  + 4}} + \frac{1}{{\sqrt {2\left( {{b^2} + {c^2}} \right)}  + 4}} + \frac{1}{{\sqrt {2\left( {{c^2} + {a^2}} \right)}  + 4}}.\)

Áp dụng các bất đẳng thức Cô-si với các số \(x,\,\,y\) dương ta có: \(x + y \le \sqrt {2\left( {{x^2} + {y^2}} \right)} ;\,\,\,\frac{1}{{x + y}} \le \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{x} + \frac{1}{y}} \right).\)

\(\begin{array}{l}\frac{1}{{\sqrt {2\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}  + 4}} \le \frac{1}{{a + b + 4}} = \frac{1}{{a + 2 + b + 2}} \le \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{{a + 2}} + \frac{1}{{b + 2}}} \right)\\\frac{1}{{\sqrt {2\left( {{b^2} + {c^2}} \right)}  + 4}} \le \frac{1}{{b + c + 4}} = \frac{1}{{b + 2 + c + 2}} \le \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{{b + 2}} + \frac{1}{{c + 2}}} \right)\\\frac{1}{{\sqrt {2\left( {{a^2} + {c^2}} \right)}  + 4}} \le \frac{1}{{a + c + 4}} = \frac{1}{{a + 2 + c + 2}} \le \frac{1}{4}\left( {\frac{1}{{a + 2}} + \frac{1}{{c + 2}}} \right)\\ \Rightarrow P = \frac{1}{{\sqrt {2\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}  + 4}} + \frac{1}{{\sqrt {2\left( {{b^2} + {c^2}} \right)}  + 4}} + \frac{1}{{\sqrt {2\left( {{a^2} + {c^2}} \right)}  + 4}}\\ \le \frac{1}{4}.2\left( {\frac{1}{{a + 2}} + \frac{1}{{b + 2}} + \frac{1}{{c + 2}}} \right) = \frac{1}{2}\left( {\frac{1}{{a + 2}} + \frac{1}{{b + 2}} + \frac{1}{{c + 2}}} \right) = \frac{1}{2}.\end{array}\)

Dấu “=” xảy ra \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = b = c\\ab + bc + ca + abc = 4\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = c = 1.\)

Vậy với \(a = b = c = 1\) thì \(Max\,\,P = \frac{1}{2}.\)

Chọn C.