Cho đa thức \(P\left( x \right)\) khác hằng 0 và t...

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

So sánh bậc của đa thức.

Giải chi tiết:

Xét đa thức \(P\left( x \right) = {a_n}{x^n} + ... + {a_1}x + {a_0},\,\,{a_n} \ne 0.\) Khi đó

\(P\left( {x - 1} \right)P\left( {x + 1} \right) = \left[ {{a_n}{{\left( {x - 1} \right)}^n} + ... + {a_1}\left( {x - 1} \right) + {a_0}} \right].\left[ {{a_n}{{\left( {x + 1} \right)}^n} + ... + {a_1}\left( {x + 1} \right) + {a_0}} \right] = a_n^2{x^{2n}} + ...\)

có bậc là \(2n.\) Trong khi đó

\(P\left( {P\left( x \right)} \right) = {a_n}{\left[ {P\left( x \right)} \right]^n} + ... + {a_1}P\left( x \right) + {a_0}\)

\( = {a_n}{\left[ {{a_n}{x^n} + ... + {a_1}x + {a_0}} \right]^n} + ... + {a_1}\left( {{a_n}{x^n} + ... + {a_1}x + {a_0}} \right) + {a_0} = a_n^{n + 1}{x^{{n^2}}} + ...\)  là đa thức bậ \({n^2}.\)

Do đó: \(2n = {n^2} \Leftrightarrow n = 0\) hay \(n = 2\). Vậy \(P\left( x \right)\) có bậc không quá 2.