Tìm tất cả các giá trị thực của tham số \(m\) để...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Giải phương trình hoành độ giao điểm và tìm tọa độ các giao điểm.

- Chứng minh \(B\) là trung điểm của \(AC\).

- Tam giác \(AOC\) cân tại \(O\Leftrightarrow OB\bot AC\).

Giải chi tiết:

Phương trình hoành độ giao điểm:

\(\begin{array}{l}
{x^3} - 3{x^2} + 1 = mx - m - 1 \Leftrightarrow {x^3} - 3{x^2} - mx + m + 2 = 0\\
\Leftrightarrow \left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} - 2x - m - 2} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 1\\
{x^2} - 2x - m - 2 = 0\left( * \right)
\end{array} \right.
\end{array}\)

Để \(d\) cắt \(\left( C \right)\) tại 3 điểm phân biệt thì phương trình \(\left( * \right)\) có hai nghiệm phân biệt khác \(1\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\Delta ' = 1 + m + 2 > 0\\
{1^2} - 2.1 - m - 2 \ne 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m + 3 > 0\\
- 3 - m \ne 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow m > - 3\)

Khi đó \(\left( * \right)\) có hai nghiệm phân biệt \({{x}_{1,2}}=1\pm \sqrt{m+3}\).

Rõ ràng hai nghiệm này đối xứng với nhau qua \(x=1\).

Do đó \(A\left( {{x}_{1}};m{{x}_{1}}-m-1 \right),B\left( 1;-1 \right),C\left( {{x}_{2}};m{{x}_{2}}-m-1 \right)\) và \(B\) là trung điểm của \(AC\).

\(\Rightarrow \overrightarrow{OB}=\left( 1;-1 \right),\overrightarrow{AC}=\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}};m{{x}_{2}}-m{{x}_{1}} \right)\)

Tam giác \(AOC\) cân tại \(O\Leftrightarrow OB\bot AC\Leftrightarrow \overrightarrow{OB}.\overrightarrow{AC}=0\)

\(\Leftrightarrow 1.\left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right)-1\left( m{{x}_{2}}-m{{x}_{1}} \right)=0\Leftrightarrow \left( {{x}_{2}}-{{x}_{1}} \right)\left( 1-m \right)=0\Leftrightarrow 1-m=0\Leftrightarrow m=1\) (thỏa mãn)

Vậy \(m=1\)

Chọn D.