Gọi M, m lần lượt là giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

\(f\left( x \right)={{\sin }^{2016}}x+{{\cos }^{2016}}x={{\left( {{\sin }^{2}}x \right)}^{1008}}+{{\left( 1-{{\sin }^{2}}x \right)}^{1008}}\)

Đặt \(t={{\sin }^{2}}x\,\,\left( 0\le t\le 1 \right)\), đưa về bài toán tìm GTNN và GTLN của hàm số \(f\left( t \right)\) trên \(\left[ 0;1 \right]\)

Giải chi tiết:

\(f\left( x \right)={{\sin }^{2016}}x+{{\cos }^{2016}}x={{\left( {{\sin }^{2}}x \right)}^{1008}}+{{\left( 1-{{\sin }^{2}}x \right)}^{1008}}\)

Đặt \(t={{\sin }^{2}}x\,\,\left( 0\le t\le 1 \right)\) ta có: \(f\left( t \right)={{t}^{1008}}+{{\left( 1-t \right)}^{1008}}\)

Có :

\(\begin{align}  & f'\left( t \right)=1008{{t}^{1007}}-1008{{\left( 1-t \right)}^{1007}}=0 \\  & \Leftrightarrow {{t}^{1007}}={{\left( 1-t \right)}^{1007}} \\  & \Leftrightarrow t=1-t\Leftrightarrow t=\frac{1}{2}\in \left[ 0;1 \right] \\  & f\left( 0 \right)=1 \\  & f\left( 1 \right)=1 \\  & f\left( \frac{1}{2} \right)=2.{{\left( \frac{1}{2} \right)}^{1008}}=\frac{1}{{{2}^{1007}}} \\  & \Rightarrow M=1,\,m=\frac{1}{{{2}^{1007}}} \\ \end{align}\)

Chọn B.