Cho hàm số \(y = {\left( {\frac{5}{{2018}}} \right...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Để hàm số đồng biến trên \(\left( {1;2} \right) \Rightarrow y' \ge 0\,\,\forall x \in \left( {1;2} \right)\).

Giải chi tiết:

TXĐ: \(D = R\).

Ta có \(y' = \left( {3{e^{3x}} - \left( {m - 1} \right){e^x}} \right){\left( {\frac{5}{{2018}}} \right)^{{e^{3x}} - \left( {m - 1} \right){e^x} + 1}}\ln \left( {\frac{5}{{2018}}} \right) = 0\)

Để hàm số đồng biến trên \(\left( {1;2} \right) \Rightarrow y' \ge 0\,\,\forall x \in \left( {1;2} \right)\).

Ta có \({\left( {\frac{5}{{2018}}} \right)^{{e^{3x}} - \left( {m - 1} \right){e^x} + 1}} > 0;\,\,\ln \left( {\frac{5}{{2018}}} \right) < 0 \Rightarrow y' \ge 0\,\,\forall x \in \left( {1;2} \right) \Leftrightarrow 3{e^{3x}} - \left( {m - 1} \right){e^x} \le 0\,\,\forall x \in \left( {1;2} \right)\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow {e^x}\left( {3{e^{2x}} - m + 1} \right) \le 0\,\,\forall x \in \left( {1;2} \right)\\ \Leftrightarrow 3{e^{2x}} - m + 1 \le 0\,\,\forall x \in \left( {1;2} \right)\\ \Leftrightarrow 3{e^{2x}} + 1 \le m\,\,\forall x \in \left( {1;2} \right)\\ \Rightarrow m \ge \mathop {\max }\limits_{\left[ {1;2} \right]} \left( {3{e^{2x}} + 1} \right)\end{array}\)

Xét hàm số \(f\left( x \right) = 3{e^{2x}} + 1\) có \(f'\left( x \right) = 6{e^x} > 0\,\,\forall x \in \left( {1;2} \right) \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {1;2} \right]} f\left( x \right) = f\left( 2 \right) = 3{e^4} + 1\)

Vậy \(m \ge 3{e^4} + 1\).

Chọn B.