Cho hàm số \(y = {\left( {\frac{5}{{2018}}} \right...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Để hàm số đồng biến trên $\left( {1;2} \right) \Rightarrow y' \ge 0\,\,\forall x \in \left( {1;2} \right)$.

Giải chi tiết:

TXĐ: $D = R$.

Ta có $y' = \left( {3{e^{3x}} - \left( {m - 1} \right){e^x}} \right){\left( {\frac{5}{{2018}}} \right)^{{e^{3x}} - \left( {m - 1} \right){e^x} + 1}}\ln \left( {\frac{5}{{2018}}} \right) = 0$

Để hàm số đồng biến trên $\left( {1;2} \right) \Rightarrow y' \ge 0\,\,\forall x \in \left( {1;2} \right)$.

Ta có ${\left( {\frac{5}{{2018}}} \right)^{{e^{3x}} - \left( {m - 1} \right){e^x} + 1}} > 0;\,\,\ln \left( {\frac{5}{{2018}}} \right) < 0 \Rightarrow y' \ge 0\,\,\forall x \in \left( {1;2} \right) \Leftrightarrow 3{e^{3x}} - \left( {m - 1} \right){e^x} \le 0\,\,\forall x \in \left( {1;2} \right)$

$\begin{array}{l} \Leftrightarrow {e^x}\left( {3{e^{2x}} - m + 1} \right) \le 0\,\,\forall x \in \left( {1;2} \right)\\ \Leftrightarrow 3{e^{2x}} - m + 1 \le 0\,\,\forall x \in \left( {1;2} \right)\\ \Leftrightarrow 3{e^{2x}} + 1 \le m\,\,\forall x \in \left( {1;2} \right)\\ \Rightarrow m \ge \mathop {\max }\limits_{\left[ {1;2} \right]} \left( {3{e^{2x}} + 1} \right)\end{array}$

Xét hàm số $f\left( x \right) = 3{e^{2x}} + 1$ có $f'\left( x \right) = 6{e^x} > 0\,\,\forall x \in \left( {1;2} \right) \Rightarrow \mathop {\max }\limits_{\left[ {1;2} \right]} f\left( x \right) = f\left( 2 \right) = 3{e^4} + 1$

Vậy $m \ge 3{e^4} + 1$.

Chọn B.