Tính thể tích hình chóp tam giác đều có cạnh đáy...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Áp dụng định lý Pitago để tìm ra độ dài các đoạn thẳng cần tìm.

- Áp dụng công thức tính diện tích tam giác, tính thể tích hình chóp và độ dài các đoạn thẳng đã tìm được để tìm thể tích hình chóp đều.

Giải chi tiết:

Kí hiệu như hình vẽ. Ta có AH là đường cao của hình chóp, H là giao 3 đường cao của tam giác ABC, đường cao BH cắt CD tại M. Khi đó BM cũng là đường trung tuyến của tam giác đều ABC

Suy ra: \(CM=DM=\frac{1}{2}C\text{D}=\frac{\sqrt{2}}{2}\)

Áp dụng định lý Pitago vào tam giác CMB vuông tại M:

            \(\begin{align}  & B{{M}^{2}}+C{{M}^{2}}=B{{C}^{2}} \\ & \Leftrightarrow B{{M}^{2}}=B{{C}^{2}}-C{{M}^{2}}={{(\sqrt{2})}^{2}}-{{\left( \frac{\sqrt{2}}{2} \right)}^{2}}=\frac{3}{2} \\ & \Rightarrow BM=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}}{2}. \\\end{align}\)

\(\Rightarrow BH=\frac{2}{3}BM=\frac{2}{3}.\frac{\sqrt{6}}{2}=\frac{\sqrt{6}}{3}.\) (Theo tính chất đường trung tuyến)

Áp dụng định lý Pitago vào tam giác AHB vuông tại H:

            \(\begin{align}  & A{{H}^{2}}+B{{H}^{2}}=A{{B}^{2}} \\ & \Leftrightarrow A{{H}^{2}}=A{{B}^{2}}-B{{H}^{2}}=1-{{\left( \frac{\sqrt{6}}{3} \right)}^{2}}=1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3} \\ & \Rightarrow AH=\frac{1}{\sqrt{3}} \\\end{align}\)

Diện tích tam giác BCD là: \({{S}_{\Delta BC\text{D}}}=\frac{1}{2}C\text{D}.BM=\frac{1}{2}.\sqrt{2}.\frac{\sqrt{6}}{2}=\frac{\sqrt{3}}{2}.\)

Thể tích hình chóp tam giác đều đã cho là:

\(V=\frac{1}{3}.{{S}_{\Delta BC\text{D}}}.AH=\frac{1}{3}.\frac{\sqrt{3}}{2}.\frac{1}{\sqrt{3}}=\frac{1}{6}.\)

Chọn A.