Cho tam giác ABC. Trên cạnh AC lấy điểm

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

a)      Sử dụng công thức ba điểm.

b)      Sử dụng công thức trung điểm.

c)      Xác định trung điểm của PQ khi \(k = 0\), khi \(k = 1\)

Giải chi tiết:

a)      Ta có:

\(\begin{gathered}  \overrightarrow {AB}  = \overrightarrow {AC}  + \overrightarrow {CB}  = \overrightarrow a  + \overrightarrow b  \hfill \\  \overrightarrow {ED}  = \overrightarrow {EC}  + \overrightarrow {CD}  =  - \frac{2}{3}\overrightarrow {CB}  - \frac{1}{4}\overrightarrow {AC}  =  - \frac{2}{3}\overrightarrow b  - \frac{1}{4}\overrightarrow a  \hfill \\ \end{gathered} \)

b)      Gọi I là trung điểm của AE ta có: \(\overrightarrow {MA}  + \overrightarrow {ME}  = 2\overrightarrow {MI} \)

\( \Rightarrow \left| {2\overrightarrow {MI} } \right| = \left| {\overrightarrow {DB} } \right| \Rightarrow 2MI = BD \Rightarrow MI = \frac{{BD}}{2}\)

Do B, D cố định \( \Rightarrow BD\) không đổi \( \Rightarrow \frac{{BD}}{2}\) không đổi.

A, E cố định \( \Rightarrow \) I cố định.

Do đó tập hợp điểm M là đường tròn tâm I bán kính \(\frac{{BD}}{2}\).

c)    Khi \(k = 1 \Rightarrow \left\{ \begin{gathered}  \overrightarrow {AP}  = \overrightarrow {AD}  \Rightarrow P \equiv D \hfill \\  \overrightarrow {BQ}  = \overrightarrow {BE}  \Rightarrow Q \equiv E \hfill \\ \end{gathered}  \right.\)

\( \Rightarrow PQ \equiv DE \Rightarrow \) Trung điểm của PQ trùng với trung điểm của DE.

Khi \(k = 0 \Rightarrow \left\{ \begin{gathered}  \overrightarrow {AP}  = \overrightarrow 0  \Rightarrow P \equiv A \hfill \\  \overrightarrow {BQ}  = \overrightarrow 0  \Rightarrow Q \equiv B \hfill \\ \end{gathered}  \right.\)

\( \Rightarrow PQ \equiv AB \Rightarrow \) Trung điểm của PQ trùng với trung điểm của AB.

Do AB, DE cố định \( \Rightarrow \) Trung điểm của AB và DE cố định \( \Rightarrow \) Đường thẳng đi qua trung điểm của AB và DE cố định.

Vậy khi k thay đổi thì trung điểm của PQ luôn thuộc đường thẳng cố định đi qua trung điểm của AB và DE.