Cho phương trình \(\left| {x - 3m + 1} \right| = \...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Xét phương trình dạng \(a\,x = b\)  (1):

+) Nếu \(a \ne 0\) thì (1) có nghiệm duy nhất \(x = \frac{b}{a}\)

+) Nếu \(a = b = 0\) thì (1) có vô số nghiệm

+) Nếu \(a = 0,\,\,b \ne 0\) thì (1) vô nghiệm.

Giải chi tiết:

\(\left| {x - 3m + 1} \right| = \left| {\left( {m + 1} \right)x - 3} \right|\,\,\,\,\,\,(*)\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x - 3m + 1 = \left( {m + 1} \right)x - 3\\x - 3m + 1 =  - \left( {m + 1} \right)x + 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}mx =  - 3m + 4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1)\\\left( {m + 2} \right)x = 3m + 2\,\,\,\,\,\,(2)\end{array} \right.\)

+) \(m = 0\):

\( - 3m + 4 = 4 \ne 0 \Rightarrow \) Phương trình (1) vô nghiệm

\((2) \Leftrightarrow 2x = 2 \Leftrightarrow x = 1\): Phương trình (2) có nghiệm duy nhất \(x = 1\)

Vậy, với \(m = 0\) phương trình đã cho có nghiệm duy nhất \(x = 1\).

+) \(m =  - 2\):

\((1) \Leftrightarrow  - 2x = 10 \Leftrightarrow x =  - 5\): Phương trình (1) có nghiệm duy nhất \(x =  - 5\)

\((2) \Leftrightarrow 0x =  - 4\): Vô nghiệm

Vậy, với \(m =  - 2\) phương trình đã cho có nghiệm duy nhất \(x =  - 5\).

+) \(m \ne 0\) và \(m \ne  - 2\)

\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow x = \frac{{ - 3m + 4}}{m};\,\,\,\,\,\left( 2 \right) \Leftrightarrow \frac{{3m + 2}}{{m + 2}}\)

Xét \(\frac{{ - 3m + 4}}{m} = \frac{{3m + 2}}{{m + 2}}\)\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \left( { - 3m + 4} \right)\left( {m + 2} \right) = \left( {3m + 2} \right)m \Leftrightarrow  - 3{m^2} - 2m + 8 = 3{m^2} + 2m \Leftrightarrow 6{m^2} + 4m - 8 = 0 \Leftrightarrow 3{m^2} + 2m - 4 = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}m = \frac{{ - 1 + \sqrt {13} }}{3}\\m = \frac{{ - 1 - \sqrt {13} }}{3}\end{array} \right.\end{array}\)\( \Rightarrow \frac{{3m - 4}}{m} \ne \frac{{3m + 2}}{{m + 2}},\,\,\forall m \ne 0,\,m \ne  - 2,\,m \ne \frac{{ - 1 \pm \sqrt {13} }}{3}\)

Vậy, với \(m \ne 0\), \(m \ne  - 2\) và \(\,m \ne \frac{{ - 1 \pm \sqrt {13} }}{3}\) phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt. Với \(\,m = \frac{{ - 1 \pm \sqrt {13} }}{3}\), phương trình có nghiệm duy nhất.

Chọn: B