Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của m đ...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Chuyển về phương trình lượng giác dạng: \(A.\sin \,x + B.\cos x = C\)

- Phương trình \(A.\sin \,x + B.\cos x = C\) có nghiệm khi và chỉ khi \({A^2} + {B^2} \ge {C^2}\)

Giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\sin 2x + 2\sin x - \cos x - {\cos ^2}x = m{\sin ^2}x\,\,\,\,\,\left( * \right)\,\,\,\,\, \Leftrightarrow 2\sin x\cos x + 2\sin x - \cos x - {\cos ^2}x = m{\sin ^2}x\\ \Leftrightarrow 2\sin x(\cos x + 1) - \cos x(1 + \cos x) - m(1 - \cos x)(1 + \cos x) = 0\\ \Leftrightarrow (\cos x + 1)\left( {2\sin x - \cos x - m(1 - \cos x)} \right) = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\cos x + 1 = 0\,\,(1)\\2\sin x - \cos x - m(1 - \cos x) = 0\,\,(2)\end{array} \right.\end{array}\)

\(\left( 1 \right) \Leftrightarrow \cos x =  - 1 \Leftrightarrow x = \pi  + k2\pi ,\,\,k \in \mathbb{Z}\). Mà  \(x \in \left[ {0;2\pi } \right] \Rightarrow x = \pi \)

Để phương trình (*) có nhiều hơn một nghiệm thì phương trình (2) có nghiệm

        \((2) \Leftrightarrow 2\sin x - \cos x - m + m\cos x) = 0 \Leftrightarrow 2\sin x + (m - 1)\cos x = m\)

(2) có nghiệm \( \Leftrightarrow {2^2} + {(m - 1)^2} \ge {m^2} \Leftrightarrow 4 + {m^2} - 2m + 1 \le {m^2} \Leftrightarrow m \ge \frac{5}{2}\)

Mà \(m \in {Z^ + } \Rightarrow m \in \left\{ {1;2} \right\}\). Vậy, có 2 giá trị của m thỏa mãn.

Chọn: C