Tìm nghiệm phương trình sau: \(\left( {1 - \tan \f...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Đặt ẩn phụ \(\tan \frac{x}{2} = t\)

Biến đổi \(\sin x = \) \(\frac{1}{{{t^2} + 1}}.2t\)

Đưa phương trình về 1 ẩn t.

Giải chi tiết:

Điều kiện : \(\cos \frac{x}{2} \ne 0 \Leftrightarrow \frac{x}{2} \ne \frac{\pi }{2} + k\pi  \Leftrightarrow x \ne \pi  + 2k\pi \)

Đặt : \(\tan \frac{x}{2} = t \Rightarrow \sin x = {\cos ^2}\frac{x}{2}.\frac{{2\sin \frac{x}{2}\cos \frac{x}{2}}}{{{{\cos }^2}\frac{x}{2}}} = \frac{1}{{{{\tan }^2}\frac{x}{2} + 1}}.2\tan \frac{x}{2} = \frac{{2t}}{{{t^2} + 1}}.\)

\(\begin{array}{l}\left( {1 - \tan \frac{x}{2}} \right)\left[ {\left( {1 + {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{inx}}} \right)} \right] = 1 + \tan \frac{x}{2}\\ \Leftrightarrow (1 - t)\left[ {1 + \frac{{2t}}{{1 + {t^2}}}} \right] = 1 + t\\ \Leftrightarrow {(1 + t)^2}(1 - t) = (1 + t)\left( {1 + {t^2}} \right)\\ \Leftrightarrow (t + 1).{t^2} = 0\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}t =  - 1\\t = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\tan \frac{x}{2} =  - 1\\\tan \frac{x}{2} = 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{x}{2} = \frac{{3\pi }}{4} + m\pi \\\frac{x}{2} = k\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{3\pi }}{2} + m2\pi \\x = 2k\pi \end{array} \right.\;\;\;\left( {k,\;m \in Z} \right)\end{array}\)

Chọn B