Nghiệm của phương trình \({\sin ^2}x + \sqrt 3 \si...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Sử dụng công thức hạ bậc : \({\sin ^2}x = \frac{{1 - \cos 2x}}{2}\)

+) Áp dụng công thức: \(a\sin x + b\cos x = \sqrt {{a^2} + {b^2}} \left( {\frac{a}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\sin x + \frac{b}{{\sqrt {{a^2} + {b^2}} }}\cos x} \right) = \sqrt {{a^2} + {b^2}} .\sin (x + \alpha )\)

+) Đưa về hàm cơ bản: \(\sin x = \sin a \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = a + k2\pi \\x = \pi  - a + m2\pi \end{array} \right..\)

Giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\;\;\;\;{\sin ^2}x + \sqrt 3 \sin x\cos x = 1 \Leftrightarrow \frac{{1 - \cos 2x}}{2} + \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin 2x = 1\\ \Leftrightarrow 1 - \cos 2x + \sqrt 3 \sin 2x = 2 \Leftrightarrow \sqrt 3 \sin 2x - \cos 2x = 1\\ \Leftrightarrow \frac{{\sqrt 3 }}{2}sin2x - \frac{1}{2}cos2x = \frac{1}{2} \Leftrightarrow \sin \left( {2x - \frac{\pi }{6}} \right) = \frac{1}{2} = \sin \frac{\pi }{6}\\ \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{2x - \frac{\pi }{6} = \frac{\pi }{6} + m2\pi }\\{2x - \frac{\pi }{6} = \frac{{5\pi }}{6} + k2\pi }\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left[ {\begin{array}{*{20}{c}}{x = \frac{\pi }{6} + m\pi }\\{x = \frac{\pi }{2} + k\pi }\end{array}\;\;\left( {k,\;m \in Z} \right)} \right.\end{array}\)

Chọn A