Phương trình \(4{\cos ^3}x - \sqrt 3 \sin \left( {...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Sử dụng các công thức biến đổi:  \(\sin \left( {2017\pi  - 3x} \right) = \sin \left( {2016x + \pi  - 3x} \right) = \sin 3x\)  và \(\cos \left( {2018\pi  - x} \right) = \cos x.\)

+) Dùng công thức  \(\cos 3x = 4{\cos ^3}x - 3\cos x.\)

Giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}\;\;\;\;\;4{\cos ^3}x - \sqrt 3 \sin \left( {2017\pi  - 3x} \right) = 1 + 3\cos \left( {2018\pi  - x} \right)\\ \Leftrightarrow 4{\cos ^3}x - \sqrt 3 \sin 3x = 1 + 3\cos x\\ \Leftrightarrow \left( {4{{\cos }^3}x - 3\cos x} \right) - \sqrt 3 \sin 3x = 1\\ \Leftrightarrow \cos 3x - \sqrt 3 \sin 3x = 1\\ \Leftrightarrow \frac{1}{2}\cos 3x - \frac{{\sqrt 3 }}{2}\sin 3x = \frac{1}{2}\\ \Leftrightarrow \cos \left( {3x + \frac{\pi }{3}} \right) = \cos \frac{\pi }{3}\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x + \frac{\pi }{3} = \frac{\pi }{3} + k2\pi \\3x + \frac{\pi }{3} =  - \frac{\pi }{3} + m2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}3x = k2\pi \\3x =  - \frac{{2\pi }}{3} + m2\pi \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{{k2\pi }}{3}\\x =  - \frac{{2\pi }}{9} + \frac{{m2\pi }}{3}\end{array} \right.\;\;\left( {k,\;m \in \mathbb{Z}} \right).\end{array}\)

Phương trình có nghiệm dương \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{{k2\pi }}{3} > 0\\ - \frac{{2\pi }}{9} + \frac{{m2\pi }}{3} > 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}k > 0 \Rightarrow {x_{1\;\min }} = \frac{{2\pi }}{3}\\m > \frac{1}{3} \Rightarrow {x_{2\;\min }} = \frac{{4\pi }}{9}\end{array} \right. \Rightarrow {x_{\min }} = \frac{{4\pi }}{9}\;\;khi\;\;m = 1.\)

\( \Rightarrow \) Phương trình có nghiệm dương bé nhất là: \(a = \frac{{4\pi }}{9}.\)

Phương trình có nghiệm âm \( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\frac{{k2\pi }}{3} < 0\\ - \frac{{2\pi }}{9} + \frac{{m2\pi }}{3} < 0\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}k < 0 \Rightarrow {x_{1\;\max }} =  - \frac{{2\pi }}{3}\\m < \frac{1}{3} \Rightarrow {x_{2\;\min }} =  - \frac{{2\pi }}{9}\end{array} \right. \Rightarrow {x_{\max }} =  - \frac{{2\pi }}{3}\;\;khi\;\;k =  - 1.\)

\( \Rightarrow \) Phương trình có nghiệm dương bé nhất là: \(b =  - \frac{{2\pi }}{3}.\)

Vậy: \(\frac{a}{b} = \frac{{\frac{{4\pi }}{9}}}{{\frac{{ - 2\pi }}{3}}} =  - \frac{2}{3}\)

Chọn A.