Cho hàm số \(f\left( x \right) = {3^{x - 4}} + \le...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Đặt \(t = 7 - 4\sqrt {6x - 9{x^2}} \), tìm khoảng giá trị của t.

+) Xét hàm số \(f\left( t \right) + 3m - 1 = 0 \Leftrightarrow f\left( t \right) = 1 - 3m\,\,\forall t \in \left[ {a;b} \right]\), tính \(f'\left( t \right).\,\,f''\left( t \right)\).

+) Chứng minh hàm số \(y = f''\left( t \right)\) đơn điệu trên [a; b], lập BBT đồ thị hàm số \(y = f’\left( t \right)\)  và suy ra số nghiệm của phương trình \( f'\left( t \right) = 0\).

+) Lập BBT đồ thị hàm số \(y = f\left( t \right)\)   và kết luận số nghiệm của phương trình \(f\left( {7 - 4\sqrt {6x - 9{x^2}} } \right) + 3m - 1 = 0\), từ đó tìm giá trị nhỏ nhất của m.

Giải chi tiết:

Đặt \(t = 7 - 4\sqrt {6x - 9{x^2}}  = 7 - 4\sqrt {1 - \left( {1 - 6x + 9{x^2}} \right)}  = 7 - 4\sqrt {1 - {{\left( {3x - 1} \right)}^2}} \).

Ta có \(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {3x - 1} \right)^2} \ge 0 \Leftrightarrow 1 - {\left( {3x - 1} \right)^2} \le 1 \Leftrightarrow 7 - 4\sqrt {1 - {{\left( {3x - 1} \right)}^2}}  \ge 3 \Leftrightarrow t \ge 3\\\sqrt {1 - {{\left( {3x - 1} \right)}^2}}  \le 0 \Leftrightarrow 7 - 4\sqrt {1 - {{\left( {3x - 1} \right)}^2}}  \le 7 \Leftrightarrow t \le 7\end{array} \right. \Leftrightarrow 3 \le t \le 7\).

Khi đó ta có \(f\left( t \right) + 3m - 1 = 0 \Leftrightarrow f\left( t \right) = 1 - 3m\,\,\forall t \in \left[ {3;7} \right]\).

Xét hàm số \(f\left( t \right) = {3^{t - 4}} + \left( {t + 1} \right){2^{7 - t}} - 6t + 3\) với \(t \in \left[ {3;7} \right]\) ta có:

\(\begin{array}{l}f'\left( t \right) = {3^{t - 4}}\ln 3 + {2^{7 - t}} - \left( {t + 1} \right){2^{7 - t}}\ln 2 - 6\\f''\left( t \right) = {3^{t - 4}}{\left( {\ln 3} \right)^2} - {2^{7 - t}}\ln 2 - {2^{7 - t}}\ln 2 + \left( {t + 1} \right){2^{7 - t}}{\left( {\ln 2} \right)^2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {3^{t - 4}}{\left( {\ln 3} \right)^2} - {2.2^{7 - t}}\ln 2 + \left( {t + 1} \right){2^{7 - t}}{\left( {\ln 2} \right)^2}\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = {3^{t - 4}}{\left( {\ln 2} \right)^2} + {2^{7 - t}}\ln 2\left( { - 2 + \left( {t + 1} \right)\ln 2} \right)\end{array}\)

Với

\(\begin{array}{l}3 \le t \le 7 \Leftrightarrow 4 \le t + 1 \le 8 \Leftrightarrow 4\ln 2 \le \left( {t + 1} \right)\ln 2 \le 8\ln 2\\ \Leftrightarrow  - 2 + 4\ln 2 \le  - 2 + \left( {t + 1} \right)\ln 2 \le  - 2 + 8\ln 2 \Rightarrow  - 2 + \left( {t + 1} \right)\ln 2 > 0\\ \Rightarrow f''\left( t \right) > 0\,\,\forall x \in \left[ {3;7} \right] \end{array}\)

\(\Rightarrow \) Hàm số \(y = f’\left( t \right)\) đồng biến trên [3 ; 7].

Lập BBT của hàm số \(y = f’\left( t \right)\)   :

Dựa vào BBT ta có phương trình \( f’\left( t \right) = 0\)  có một nghiệm duy nhất \(t = {t_0}\), ta lập BBT của hàm số \(y = f\left( t \right)\)    như sau :

Số nghiệm của phương trình \(f\left( t \right) = 1 - 3m\) là số giao điểm của đồ thị hàm số \(y = f\left( t \right)\)     và đường thẳng \(y = 1 - 3m\) song song với trục hoành.

Phương trình \(f\left( t \right) = 1 - 3m\) có số nghiệm nhiều nhất

\( \Leftrightarrow f\left( {{t_0}} \right) < 1 - 3m \le  - 4 \Leftrightarrow \frac{5}{3} \le m \le \frac{{1 - f\left( {{t_0}} \right)}}{3} \Leftrightarrow {m_{\min }} = \frac{5}{3} \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = 5\\b = 3\end{array} \right. \Leftrightarrow T = a + b = 8\).

Chọn C.