Tổng \(C_{2n}^0 + C_{2n}^2 + C_{2n}^4 + ..... + C_...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Nhận xét : biểu thức đã cho gồm tổng của các \(C_n^k\)với k : chẵn

Để triệt tiêu các k lẻ : ta thức hiện 2 khai triển nhị thức Newton sau đó cộng vế với vế.

\(\left\{ \begin{array}{l}{\left( {1 + 1} \right)^{2n}} = C_{2n}^0 + C_{2n}^1 + ... + C_{2n}^{2n}\\{\left( {1 - 1} \right)^{2n}} = C_{2n}^0 - C_{2n}^1 + ... - C_{2n}^{2n}\end{array} \right.\)

Giải chi tiết:

Xét khai triển \({\left( {x + 1} \right)^{2n}} = C_{2n}^0{x^{2n}} + C_{2n}^1{x^{2n - 1}} + C_{2n}^2{x^{2n - 2}} + ... + C_{2n}^{2n}\).

Thay \(x = 1\)  vào khai triển ta được \({2^{2n}} = C_{2n}^0 + C_{2n}^1 + C_{2n}^2 + ... + C_{2n}^{2n}\,\,\,\,\,\,\,(1)\).

Thay \(x =  - 1\)  vào khai triển ta được :    

\(0 = C_{2n}^0 - C_{2n}^1 + C_{2n}^2 - ... + C_{2n}^{2n} \Leftrightarrow C_{2n}^0 + C_{2n}^2 + ... + C_{2n}^{2n} = C_{2n}^1 + C_{2n}^3 + ....C_{2n}^{2n - 1}\,\,\,\,(2)\).

Cộng vế với vế của \((1)\) và \((2)\) ta được:

\(\begin{array}{l}\;\;\;2\left( {C_{2n}^0 + C_{2n}^2 + C_{2n}^4 + ..... + C_{2n}^{2n}} \right) = {2^{2n}}\\ \Leftrightarrow C_{2n}^0 + C_{2n}^2 + C_{2n}^4 + ..... + C_{2n}^{2n} = {2^{2n - 1}}.\end{array}\)

Chọn D