Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có ABC là tam giác vu...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Gọi N là trung điểm của BB’, đưa bài toán về tính khoảng cách từ 1 điểm đến đường thẳng.

$\Rightarrow \left( {AMN} \right)//B'C \Rightarrow d\left( {AM;B'C} \right) = d\left( {B'C;\left( {AMN} \right)} \right) = d\left( {C;\left( {AMN} \right)} \right)$

+) $d\left( {C;\left( {AMN} \right)} \right) = \frac{{3{V_{NAMC}}}}{{{S_{AMN}}}}$.

Giải chi tiết:

Gọi N là trung điểm của BB’ $\Rightarrow MN//B'C$

$\Rightarrow \left( {AMN} \right)//B'C \Rightarrow d\left( {AM;B'C} \right) = d\left( {B'C;\left( {AMN} \right)} \right) = d\left( {C;\left( {AMN} \right)} \right)$.

Tam giác vuông ABC có $AB = BC = 1 \Rightarrow \Delta ABC$ vuông cân tại B

$\Rightarrow AM = \sqrt {A{B^2} + B{M^2}}  = \sqrt {1 + \dfrac{1}{4}}  = \dfrac{{\sqrt 5 }}{2}$

Xét tam giác vuông BB’C có: $B'C = \sqrt {BB{'^2} + B{C^2}}  = \sqrt {2 + 1}  = \sqrt 3  \Rightarrow MN = \dfrac{{\sqrt 3 }}{2}$

Xét tam giác vuông ABN có: $AN = \sqrt {A{B^2} + B{N^2}}  = \sqrt {{1^2} + {{\left( {\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)}^2}}  = \dfrac{{\sqrt 6 }}{2}$.

$\Rightarrow {S_{AMN}} = \sqrt {p\left( {p - a} \right)\left( {p - b} \right)\left( {p - c} \right)}  = \dfrac{{\sqrt {14} }}{8}$

Ta có: ${S_{AMC}} = \dfrac{1}{2}AB.MC = \dfrac{1}{2}.1.\dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{4} \Rightarrow {V_{NAMC}} = \dfrac{1}{3}NM.{S_{AMC}} = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}.\dfrac{1}{4} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{{24}}$.

Mà ${V_{N.AMC}} = \dfrac{1}{3}d\left( {C;\left( {AMN} \right)} \right).{S_{AMN}} \Rightarrow d\left( {C;\left( {AMN} \right)} \right) = \dfrac{{3{V_{NAMC}}}}{{{S_{AMN}}}} = \dfrac{{\frac{{\sqrt 2 }}{8}}}{{\frac{{\sqrt {14} }}{8}}} = \dfrac{{\sqrt 7 }}{7}$

Chọn A.