Tìm giá trị nhỏ nhất \(m\) của hàm số \(f\left( x...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp tách \(\dfrac{{a + b}}{c} = \dfrac{a}{c} + \dfrac{b}{c}\) sau đó sử dụng BĐT Cô-si cho ba số \(x,y,z \ge 0:\,\,x + y + z \ge 3\sqrt[3]{{xyz}}\). Dấu "=" xảy ra \( \Leftrightarrow x = y = z\).

Giải chi tiết:

Ta có: \(f\left( x \right) = \dfrac{{2{x^3} + 4}}{x} = 2{x^2} + \dfrac{4}{x} = 2{x^2} + \dfrac{2}{x} + \dfrac{2}{x}\).

Do \(x > 0 \Rightarrow \) Áp dụng BĐT Cô-si cho 3 số dương \(2{x^2},\,\,\dfrac{2}{x},\,\,\dfrac{2}{x}\) ta có:

\(f\left( x \right) \ge 3\sqrt[3]{{2{x^2}.\dfrac{2}{x}.\dfrac{2}{x}}} = 3.2 = 6\).

Dấu "=" xảy ra \(2{x^2} = \dfrac{2}{x} \Leftrightarrow {x^3} = 1 \Leftrightarrow x = 1\) (tm).

\( \Rightarrow \min f\left( x \right) = 6 \Leftrightarrow x = 1\).

Vậy \(m = 6\).

Chọn C.