Cho tích phân \(I = \int\limits_0^{{\pi  \over 2}}...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

Phương pháp:

- Sử dụng công thức của tích phân từng phần: \(\int\limits_a^b {udv}  = \left. {uv} \right|_a^b - \int\limits_a^b {vdu} \).

- Trong các tích phân có hàm đa thức và hàm lượng giác ta ưu tiên đặt u bằng hàm đa thức.

- Đồng nhất thức.

Cách giải.

Đặt \(\left\{ \matrix{  u = {x^2} + 1 \hfill \cr   {\rm{d}}v = \sin x\,{\rm{d}}x \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  {\rm{d}}u = 2x\,{\rm{d}}x \hfill \cr   v =  - \,\cos x \hfill \cr}  \right..\)

Khi đó \(I =  - \,\left. {\left( {{x^2} + 1} \right)\cos x} \right|_0^{{\pi  \over 2}} + 2\int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {x\cos x\,{\rm{d}}x}  = 1 + 2\int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {x\cos x\,{\rm{d}}x} .\)

Xét tích phân \(J = \int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {x\cos x\,{\rm{d}}x} ,\) ta đặt \(\left\{ \matrix{  u = x \hfill \cr   {\rm{d}}v = \cos x\,{\rm{d}}x \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  {\rm{d}}u = {\rm{d}}x \hfill \cr   v = \sin x \hfill \cr}  \right..\)

Khi đó \(J = \left. {x\sin x} \right|_0^{{\pi  \over 2}} - \int\limits_0^{{\pi  \over 2}} {\sin x\,{\rm{d}}x}  = {\pi  \over 2} + \left. {\cos x} \right|_0^{{\pi  \over 2}} = {\pi  \over 2} - 1.\)

Vậy \(I = 1 + 2\left( {{\pi  \over 2} - 1} \right) = \pi  - 1 = a\pi  + b \Rightarrow \left\{ \matrix{  a = 1 \hfill \cr   b =  - \,1 \hfill \cr}  \right.\)

\( \Rightarrow P = {a^2} - 2b = 1 + 2 = 3.\)

Chọn C.