Giá trị nhỏ nhất và lớn nhất của hàm số 

A

- Hướng dẫn giải

Chọn A

Ta có:$y=\frac{2\sin x+\cos x+1}{\sin x-2\cos x+3}$

$$\begin{gathered} {(\sin x - 2\cos x)}^2\le (1^2 +\hspace{0.17em}{2}^2) . ({\sin }^{2}x\hspace{0.17em}\hspace{0.17em}+\hspace{0.17em}{\cos }^{2}x)= 5 \\ \Rightarrow - \sqrt{5}\le \sin x - 2\cos x\le \sqrt{5} \\ \Rightarrow \sin x - 2\cos x \hspace{0.17em}+ 3 > 0\forall x \end{gathered}$$

+ $y=\frac{2\sin x+\cos x+1}{\sin x-2\cos x+3}$

$\iff$y. (sinx - 2cosx + 3) = 2sinx + cosx + 1 

$\iff$(y-2)  . sinx - (2y+ 1)cosx = 1 - 3y  (*)

Để phương trình (*) có nghiệm điều kiện là:

$$\begin{gathered} {( y- 2)}^2+\hspace{0.17em}{(2y +\hspace{0.17em}1)}^2\ge {(\hspace{0.17em}1- 3y)}^2\iff y^2- 4y +\hspace{0.17em}4 +\hspace{0.17em}4y^2+ 4y +\hspace{0.17em}1\ge 1- 6y +\hspace{0.17em}9y^2 \\ \iff - 4y^2+\hspace{0.17em}6y +\hspace{0.17em}4 \ge 0 \\ \iff \frac{-1}{2}\le y\le 2 \end{gathered}$$