Giải phương trình : \({\left( {{x^3} - 4} \right)^...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Tìm điều kiện xác định của phương trình

Đặt: \({x^3} - 4 = {u^2}\); \(\sqrt[3]{{{x^2} + 4}} = v{\rm{ }}(v > 1)\) từ đó biến đổi để được hệ phương trình với 3 ẩn là \(x,u\) và \(v\)

Biện luận và giải hệ phương trình đó để tìm \(x\)                                                        

Giải chi tiết:

Giải phương trình : \({\left( {{x^3} - 4} \right)^3} = {\left( {\sqrt[3]{{{{({x^2} + 4)}^2}}} + 4} \right)^2}\)                       (1)

ĐK: \(x > \sqrt[3]{4}\)

Đặt: \({x^3} - 4 = {u^2}\)                                                                           (2)

        \(\sqrt[3]{{{x^2} + 4}} = v{\rm{ }}(v > 1) \Rightarrow {v^3} - 4 = {x^2}\)                                       (3)

Khi đó phương trình (1) \( \Leftrightarrow {\left( {{u^2}} \right)^3} = {\left( {{v^2} + 4} \right)^2} \Leftrightarrow \,{u^3} - 4 = {v^2}\)   (4)

Từ  (2), (3), (4)  ta có hệ phương trình:  

        \(\left\{ \begin{array}{l}{x^3} - 4 = {u^2}\\{v^3} - 4 = {x^2}\\{u^3} - 4 = {v^2}\end{array} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^3} - {v^3} = {u^2} - {x^2}{\rm{ }}(5)\\{u^3} - {x^3} = {v^2} - {u^2}{\rm{ }}(6)\end{array} \right.\)

Vì \(x,\,\,u,\,\,v > 1\)  nên giả sử \(x \ge v\) thì từ (5) \( \Rightarrow u \ge x\)

Có \(u \ge x\) nên từ (6) \( \Rightarrow v \ge u\)

Do đó: \(x \ge v \ge u \ge x \Rightarrow x = v = u\)

Mặt khác, nếu \(x < v\)  thì tương tự ta có \(x < u < v < x\) (vô lí)

Vì \(x = u\)  nên:

\({x^3} - 4 = {x^2} \Leftrightarrow \left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + x + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 2\) (thỏa mãn)

Vậy phương trình (1) có nghiệm duy nhất \(x = 2.\)

Chọn C.