Cho $a,b$ là các số thực thỏa mãn \(\left( {a +...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Áp dụng BĐT Minicopski: $\sqrt {{m^2} + {n^2}}  + \sqrt {{p^2} + {q^2}}  \ge \sqrt {{{\left( {m + p} \right)}^2} + {{\left( {n + q} \right)}^2}} \,\,\,\,\,\forall m,n,p,q \in \mathbb{R}$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow mq = np$

Biến đổi giả thiết đề bài và sử dụng BDDT Cô-si để tìm GTNN của ${a^2} + {b^2}$ từ đó tìm GTNN của $P$

Giải chi tiết:

Áp dụng BĐT Minicopski ta có:

$P = \sqrt {1 + {a^4}}  + \sqrt {1 + {b^4}}  \ge \sqrt {{{\left( {1 + 1} \right)}^2} + {{\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}^2}}  = \sqrt {{{\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}^2} + 4}$

Từ giả thiết ta có: $\left( {a + 2} \right)\left( {b + 2} \right) = \frac{{25}}{4} \Leftrightarrow 2a + 2b + ab = \frac{9}{4}$

Ta có: ${a^2} + {b^2} \ge 2ab \Leftrightarrow \frac{{{a^2} + {b^2}}}{2} \ge ab$   (1)

Mặt khác: $\left\{ \begin{array}{l}4{a^2} + 1 \ge 4a\\4{b^2} + 1 \ge 4b\end{array} \right. \Rightarrow 4{a^2} + 4{b^2} \ge 4\left( {a + b} \right) - 2 \Rightarrow 2\left( {{a^2} + {b^2}} \right) \ge 2\left( {a + b} \right) - 1$    (2)

Cộng theo vế các BĐT (1) và (2) ta được: $\frac{{{a^2} + {b^2}}}{2} + 2\left( {{a^2} + {b^2}} \right) \ge ab + 2\left( {a + b} \right) - 1$

$\Rightarrow \frac{5}{2}\left( {{a^2} + {b^2}} \right) \ge 2a + 2b + ab - 1 = \frac{9}{4} - 1 = \frac{5}{4}$

$\begin{array}{l} \Rightarrow {a^2} + {b^2} \ge \frac{1}{2}\\ \Rightarrow P \ge \sqrt {{{\left( {{a^2} + {b^2}} \right)}^2} + 4}  \ge \sqrt {{{\left( {\frac{1}{2}} \right)}^2} + 4}  = \frac{{\sqrt {17} }}{2}.\end{array}$

Dấu “=” xảy ra $\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = b\\2a = 1\\2b = 1\\2a + 2b + ab = \frac{9}{4}\end{array} \right. \Leftrightarrow a = b = \frac{1}{2}.$

Vậy giá trị nhỏ nhất của $P$ bằng $\frac{{\sqrt {17} }}{2}$ đạt được khi $a = b = \frac{1}{2}.$

Chọn A.