Số các giá trị nguyên nhỏ hơn 2018  của tham số m...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

Đặt \({{\log }_{6}}\left( 2018x+m \right)={{\log }_{4}}\left( 1009x \right)=t\), ta có hệ

\(\left\{ \begin{align}  & {{6}^{t}}=2018x+m \\  & {{4}^{t}}=1009x \\ \end{align} \right.\ \left( I \right)\Rightarrow {{6}^{t}}-{{2.4}^{t}}=m\ \left( * \right)\)

Dễ thấy nếu phương trình (*) có nghiệm t = t₀ thì hệ (I) có nghiệm x = x₀

Xét hàm số \(f\left( t \right)={{6}^{t}}-{{2.4}^{t}}\)

\(f'\left( t \right)={{6}^{t}}.\ln 6-{{2.4}^{t}}.\ln 4=0\Leftrightarrow {{6}^{t}}.\ln 6={{4}^{t}}.2\ln 4\Leftrightarrow {{\left( \frac{3}{2} \right)}^{t}}=\frac{2\ln 4}{\ln 6}\Leftrightarrow t={{\log }_{\frac{3}{2}}}\frac{2\ln 4}{\ln 6}=\alpha \approx -2,01\)

\(f'\left( t \right)<0\Leftrightarrow t<\alpha ;f'\left( t \right)>0\Leftrightarrow t>\alpha \)

Mà \(\underset{t\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( t \right)=+\infty \) nên tập giá trị của hàm số f(t) là [a;+∞)

Vậy các giá trị nguyên của m để (*) có nghiệm là –2;–1;0;1;2;...;2017 (có 2020 giá trị)

Chọn D