Có tất cả bao nhiêu cặp số nguyên chẵn \(\left( x;...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải phương trình nghiệm nguyên bằng phương pháp đặt ẩn phụ.

Giải chi tiết:

Do \({{2}^{x}}={{3}^{y}}+55\) nên \(x\ge 2\) suy ra \({{2}^{x}}-55\) là số nguyên nên \(y\ge 2.\)

Do \(x,\,\,y\) chẵn nên đặt \(x=2m,\,\,y=2n\) với \(m,\,\,n\in {{\mathbb{N}}^{*}}.\)

Khi đó, giả thiết trở thành: \({{\left( {{2}^{m}} \right)}^{2}}-{{\left( {{3}^{n}} \right)}^{2}}=55\Leftrightarrow \left( {{2}^{m}}-{{3}^{n}} \right)\left( {{2}^{m}}+{{3}^{n}} \right)=55\)

\(\Rightarrow \left( {{2}^{m}}-{{3}^{n}} \right)\) và \({{2}^{m}}+{{3}^{n}}\) là 2 ước dương của 55.

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
{2^m} - {3^n} = 1\\
{2^m} - {3^n} = 55
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
{2^m} - {3^n} = 5\\
{2^m} - {3^n} = 11
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
{2^m} = 28\\
{3^n} = 27
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
{2^m} = 8\\
{3^n} = 3
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
m = {\log _2}28\;\;\left( {ktm} \right)\\
n = 3
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
m = 3\\
n = 1
\end{array} \right.\;\;\left( {tm} \right)
\end{array} \right..\)

Vậy \(\left( x;y \right)=\left( 6;2 \right)\) thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Chọn D