Trong không gian Oxyz, cho ba mặt phẳng \(\left( P...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Viết phương trình \(\left( \Delta  \right)\) là giao tuyến của (P) và (Q)

+) Gọi \({{\overrightarrow{n}}_{\left( T \right)}}=\left( 1;a;b \right)\) là 1 VTPT của mặt phẳng (T) \(\Rightarrow {{\overrightarrow{n}}_{\left( T \right)}}.{{\overrightarrow{u}}_{\left( \Delta  \right)}}=0\)

+) Mặt phẳng (T) và (R) tạo với nhau một góc \(\alpha \) có \(\cos \alpha =\frac{23}{\sqrt{679}}\) nên \(\left| \cos \left( {{\overrightarrow{n}}_{\left( T \right)}};{{\overrightarrow{n}}_{\left( R \right)}} \right) \right|=\cos \alpha \)

Giải chi tiết:

Giao tuyến của (P) và (Q) là tập hợp tất cả các điểm thỏa mãn hệ phương trình 

\(\begin{array}{*{20}{l}}
\begin{array}{l}
\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x + y - 3z + 1 = 0}\\
{2x + 3y + z - 1 = 0}
\end{array}} \right. \Leftrightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{2x + 2y - 6z + 2 = 0}\\
{2x + 3y + z - 1 = 0}
\end{array}} \right. \Rightarrow y + 7z - 3 = 0\\
\Rightarrow \left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{x = - 4 + 10t}\\
{y = 3 - 7t}\\
{z = t}
\end{array}} \right.{\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} {\mkern 1mu} \left( \Delta \right) \Rightarrow {{\vec u}_{\left( \Delta \right)}} = \left( {10; - 7;1} \right)
\end{array}\\
{\left( T \right) \supset \Delta \Rightarrow {{\vec n}_{\left( T \right)}} \bot {{\vec u}_{\left( \Delta \right)}} \Rightarrow {{\vec n}_{\left( T \right)}}.{{\vec u}_{\left( \Delta \right)}} = 0}
\end{array}\)

Gọi \({{\overrightarrow{n}}_{\left( T \right)}}=\left( 1;a;b \right)\) là 1 VTPT của mặt phẳng (T) ta có: \(10-7a+b=0\Rightarrow b=7a-10\).

Mặt phẳng (R) có \({{\overrightarrow{n}}_{\left( R \right)}}=\left( 1;2;4 \right)\).

Mặt phẳng (T) và (R) tạo với nhau một góc \(\alpha \) có \(\cos \alpha =\dfrac{23}{\sqrt{679}}\) nên

\(\begin{array}{l}\;\;\;\;\left| {\cos \left( {{{\overrightarrow n }_{\left( T \right)}};{{\overrightarrow n }_{\left( R \right)}}} \right)} \right| = \cos \alpha  = \frac{{23}}{{\sqrt {679} }}\\ \Rightarrow \left| {\frac{{1 + 2a + 4b}}{{\sqrt {21} .\sqrt {1 + {a^2} + {b^2}} }}} \right| = \frac{{23}}{{\sqrt {679} }}\\ \Leftrightarrow \left| {\frac{{1 + 2a + 4\left( {7a - 10} \right)}}{{\sqrt {21} .\sqrt {1 + {a^2} + {{\left( {7a - 10} \right)}^2}} }}} \right| = \frac{{23}}{{\sqrt {679} }}\\ \Leftrightarrow \left| {\frac{{30a - 39}}{{\sqrt {21} .\sqrt {50{a^2} - 140a + 101} }}} \right| = \frac{{23}}{{\sqrt {679} }}\\ \Leftrightarrow \frac{{{{\left( {30a - 39} \right)}^2}}}{{21\left( {50{a^2} - 140a + 101} \right)}} = \frac{{529}}{{679}}\end{array}\)

\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow 679\left( {900{a^2} - 2340a + 1521} \right) = 11109\left( {50{a^2} - 140a + 101} \right)\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}a =  - 1\\a = \dfrac{{85}}{{53}}\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}a =  - 1\\b =  - 17\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{{85}}{{53}}\\b = \dfrac{{65}}{{53}}\end{array} \right.\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}\left( T \right):x - y - 17z + {d_1} = 0\\\left( T \right):\,\,53x + 85y + 65z + {d_2} = 0\end{array} \right.\end{array}\)

Lấy \(M\left( -4;3;0 \right)\in \left( \Delta  \right)\Rightarrow M\in \left( T \right)\), thay vào ta có : \(\left[ \begin{array}{l}\left( T \right):x - y - 17z + 7 = 0\\\left( T \right):\,\,53x + 85y + 65z - 43 = 0\end{array} \right.\)

Chọn D.