Cho hàm số \(y=f(x)=2018\ln \left( {{e}^{\frac{x}{...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Tính \(f'\left( x \right)\) và giá trị \(f'\left( x \right)+f'\left( 2018-x \right)\).

- Thay vào biểu thức đã cho để tính giá trị biểu thức \(T\).

Giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}y = f(x) = 2018\ln \left( {{e^{\frac{x}{{2018}}}} + \sqrt e } \right) \Rightarrow f'(x) = 2018.\frac{{\left( {{e^{\frac{x}{{2018}}}} + \sqrt e } \right)'}}{{{e^{\frac{x}{{2018}}}} + \sqrt e }} = 2018.\frac{{\frac{{{e^{\frac{x}{{2018}}}}}}{{2018}}}}{{{e^{\frac{x}{{2018}}}} + \sqrt e }} = \frac{{{e^{\frac{x}{{2018}}}}}}{{{e^{\frac{x}{{2018}}}} + \sqrt e }}\\f'(2018 - x) = \frac{{{e^{\frac{{2018 - x}}{{2018}}}}}}{{{e^{\frac{{2018 - x}}{{2018}}}} + \sqrt e }} = \frac{{\frac{e}{{{e^{\frac{x}{{2018}}}}}}}}{{\frac{e}{{{e^{\frac{x}{{2018}}}}}} + \sqrt e }} = \frac{e}{{e + \sqrt e .{e^{\frac{x}{{2018}}}}}} = \frac{{\sqrt e }}{{\sqrt e  + {e^{\frac{x}{{2018}}}}}}\\ \Rightarrow f'(x) + f'(2018 - x) = \frac{{{e^{\frac{x}{{2018}}}}}}{{{e^{\frac{x}{{2018}}}} + \sqrt e }} + \frac{{\sqrt e }}{{\sqrt e  + {e^{\frac{x}{{2018}}}}}} = 1\end{array}\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}T = f'(1) + f'(2) + ... + f'(2017)\\ = \left[ {f'(1) + f'(2017)} \right] + \left[ {f'(2) + f'(2016)} \right] + ... + \left[ {f'(1008) + f'(1010)} \right] + f'(1009)\\ = \underbrace {1 + 1 + ... + 1}_{1008} + \frac{{{e^{\frac{{1009}}{{2018}}}}}}{{{e^{\frac{{1009}}{{2018}}}} + \sqrt e }} = 1008.1 + \frac{{\sqrt e }}{{\sqrt e  + \sqrt e }} = 1008 + \frac{1}{2} = \frac{{2017}}{2}\end{array}\)

Chọn: C.