Cho số phức z, biết rằng các điểm biểu diễn hình...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+) Điểm \(M\left( a;b \right)\) là điểm biểu diễn cho số phức \(z=a+bi\). +) Tìm các điểm A, B, C lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức z, iz, z + iz.

Nhận xét tam giác ABC và tính diện tích tam giác ABC sau đó sau ra mođun của số phức z là: \(\left| z \right|=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}\).

Giải chi tiết:

Gọi số phức \(z=a+bi\), khi đó ta có:

\(\begin{align} & iz=i\left( a+bi \right)=-b+ai \\ & z+iz=\left( a+bi \right)+i\left( a+bi \right)=a+bi+ai-b=\left( a-b \right)+\left( a+b \right)i \\ \end{align}\) Các điểm \(A\left( a;b \right);\,\,B\left( -b;a \right);\,\,C\left( a-b;a+b \right)\) lần lượt là các điểm biểu diễn cho các số phức z, iz, z + iz.

Khi đó ta có \(\overrightarrow{AB}=\left( -b-a;a-b \right);\,\,\overrightarrow{AC}=\left( -b;a \right);\,\,\overrightarrow{BC}=\left( a;b \right)\)

Ta có: \(\left\{ \begin{align} & A{{B}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}}+2ab+{{a}^{2}}+{{b}^{2}}-2ab=2{{a}^{2}}+2{{b}^{2}} \\ & A{{C}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}} \\ & B{{C}^{2}}={{a}^{2}}+{{b}^{2}} \\ \end{align} \right.\Rightarrow A{{C}^{2}}+B{{C}^{2}}=A{{B}^{2}}\Rightarrow \Delta ABC\) vuông tại C. \(\Rightarrow {{S}_{\Delta ABC}}=\frac{1}{2}AC.BC=\frac{1}{2}\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}.\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}=\frac{1}{2}\left( {{a}^{2}}+{{b}^{2}} \right)=18\Leftrightarrow {{a}^{2}}+{{b}^{2}}=36\Leftrightarrow \left| z \right|=\sqrt{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}=6.\)

Chọn C.