Có bao nhiêu số nguyên dương m sao cho đường thẳng...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Viết phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng và đồ thị Tìm tọa độ 2 điểm A, B theo đường thẳng. Tính AB và thay vào điều kiện đề bài, sử dụng Viet để tìm m

Giải chi tiết:

Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng \(y=x+m\) và đồ thị hàm số \(y=\frac{2x-1}{x+1}\) dạng:

\(\frac{2x-1}{x+1}=x+m\Leftrightarrow {{x}^{2}}+\left( m-1 \right)x+m+1=0\left( x\ne -1 \right)\left( * \right)\)

Đường thẳng \(y=x+m\) cắt đồ thị tại 2 điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt khác -1.

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{\left( {m - 1} \right)^2} - 4\left( {m + 1} \right) > 0\\
1 - \left( {m - 1} \right) + m + 1 \ne 0\left( {tm} \right)
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow {m^2} - 6m - 3 > 0\\
\Leftrightarrow m \in \left( { - \infty ;6 - 2\sqrt 3 } \right) \cup \left( {6 + 2\sqrt 3 ; + \infty } \right)
\end{array}\)

Gọi \(A\left( {{x}_{1}};{{x}_{1}}+m \right);B\left( {{x}_{2}};{{x}_{2}}+m \right)\)

\(A{{B}^{2}}=2{{\left( {{x}_{1}}-{{x}_{2}} \right)}^{2}}=2{{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}-8{{x}_{1}}{{x}_{2}}\)

Áp dụng định lý Viet cho phương trình (*) ta có: \(\left\{ \begin{align} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=1-m \\ & {{x}_{1}}{{x}_{2}}=m+1 \\ \end{align} \right.\)

Ta có:

\(\begin{array}{l}
A{B^2} = 2{\left( {1 - m} \right)^2} - 8\left( {m + 1} \right)\\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 2\left( {1 - 2m + {m^2}} \right) - 8m - 8\\
\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 2{m^2} - 12m - 6 \le 16\\
\Leftrightarrow {m^2} - 6m - 11 \le 0\\
\Leftrightarrow m \in \left[ {3 - 2\sqrt 5 ;3 + 2\sqrt 5 } \right]
\end{array}\)

Kết hợp với điều kiện ta được: \(m\in \left[ 3-2\sqrt{5};6-2\sqrt{3} \right)\)

Mà m nguyên dương nên khi đó \(m\in \left\{ 1;2 \right\}\)

Vậy có 2 số nguyên dương m thỏa mãn điều kiện đề bài

Chọn đáp án D.