Hàm số \(y=f\left( x \right)={{x}^{3}}-\left( m+1...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

+ Điều kiện để hàm số y = f(x) đạt cực đại tại x = a: \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f'\left( a \right) = 0\\f''\left( a \right) < 0\,\,\forall x \in TXD\end{array} \right.\)

+ Điều kiện để hàm số y = f(x) đạt cực tiểu tại x = a: \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f'\left( a \right) = 0\\f''\left( a \right) > 0\,\,\forall x \in TXD\end{array} \right.\)

Giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}y = f\left( x \right) = {x^3} - \left( {m + 1} \right){x^2} + \left( {{m^2} - 3m + 2} \right)x + 2\\f'\left( x \right) = 3{x^2} - 2\left( {m + 1} \right)x + \left( {{m^2} - 3m + 2} \right)\\f''\left( x \right) = 6x - 2\left( {m + 1} \right)\end{array}\)

+ Điều kiện để hàm số y = f(x) đạt cực tiểu tại x = 2: \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}f'\left( 2 \right) = 0\\f''\left( 2 \right) > 0\,\,\forall x \in TXD\end{array} \right.\)

\(\begin{array}{l}f'\left( 2 \right) = {m^2} - 7m + 10 = 0 \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}m = 2\\m = 5\end{array} \right.\\f''\left( 2 \right) = 6.2 - 2\left( {m + 1} \right) > 0 \Leftrightarrow m < 5\\ \Rightarrow m = 2\end{array}\)

Chọn đáp án A.