Cho số phức z = a + bi \(\left( {a,b \in R} \right...

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Gọi z = a + bi, thay vào phương trình tìm mối liên hệ giữa a và b, thử lần lượt các đáp án đế suy ra kết quả.

Giải chi tiết:

Gọi \(z = a + bi \Rightarrow \overline z  = a - bi\,\,\left( {a,b \in R} \right)\) ta có:

\(\eqalign{  & \left( {\left| z \right| - 1} \right)\left( {1 + iz} \right) = i\left( {z - {1 \over {\overline z }}} \right)  \cr   &  \Rightarrow \left( {\sqrt {{a^2} + {b^2}}  - 1} \right)\left( {1 + ai - b} \right) = i\left( {a + bi - {1 \over {a - bi}}} \right)  \cr   &  \Leftrightarrow \left( {\sqrt {{a^2} + {b^2}}  - 1} \right)\left( {1 + ai - b} \right) = ai - b - {{i\left( {a + bi} \right)} \over {{a^2} + {b^2}}}  \cr   &  \Leftrightarrow \left( {\sqrt {{a^2} + {b^2}}  - 1} \right)\left( {1 - b} \right) + a\left( {\sqrt {{a^2} + {b^2}}  - 1} \right)i = ai - b - {a \over {{a^2} + {b^2}}}i + {b \over {{a^2} + {b^2}}}  \cr   &  \Leftrightarrow \left[ {a\left( {\sqrt {{a^2} + {b^2}}  - 1} \right) - a + {a \over {{a^2} + {b^2}}}} \right]i + \left[ {\left( {\sqrt {{a^2} + {b^2}}  - 1} \right)\left( {1 - b} \right) + b - {b \over {{a^2} + {b^2}}}} \right] = 0  \cr   &  \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  a\left( {\sqrt {{a^2} + {b^2}}  - 1} \right) - a + {a \over {{a^2} + {b^2}}} = 0 \hfill \cr   \left( {\sqrt {{a^2} + {b^2}}  - 1} \right)\left( {1 - b} \right) + b - {b \over {{a^2} + {b^2}}} = 0 \hfill \cr}  \right.\,\,\left( * \right) \cr} \)

Thử từng đáp án:

Đáp án A : \({a^2} + {b^2} = 3 + 2\sqrt 2  = {\left( {\sqrt 2  + 1} \right)^2} \Rightarrow \sqrt {{a^2} + {b^2}}  = \sqrt 2  + 1\)

Thay vào (*) ta có:

\(\left\{ \matrix{  a\sqrt 2  - a + {a \over {3 + 2\sqrt 2 }} = 0 \hfill \cr   \sqrt 2 \left( {1 - b} \right) + b - {b \over {3 + 2\sqrt 2 }} = 0 \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  a\left( {2 - \sqrt 2 } \right) = 0 \hfill \cr   b\left( { - 2 + \sqrt 2 } \right) =  - \sqrt 2  \hfill \cr}  \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{  a = 0 \hfill \cr   b = 1 + \sqrt 2  \hfill \cr}  \right. \Rightarrow {a^2} + {b^2} = {\left( {1 + \sqrt 2 } \right)^2} = 3 + \sqrt 2 \)

Do đó A đúng.

Chọn A.