Tính \(I = \int {x{{\tan }^2}xdx} \) ta được:

A

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức \({\tan ^2}x = {1 \over {{{\cos }^2}x}} - 1,\) sau đó tách thành 2 nguyên hàm và sử dụng phương pháp nguyên hàm từng phần.

Giải chi tiết:

\(I = \int {x{{\tan }^2}xdx}  = \int {x\left( {{1 \over {{{\cos }^2}x}} - 1} \right)dx}  = \int {x.{1 \over {{{\cos }^2}x}}dx}  - \int {xdx}  = {I_1} - {I_2}\)

Ta có: \({I_2} = \int {xdx}  = {{{x^2}} \over 2} + {C_2}.\)

\({I_1} = \int {x{1 \over {{{\cos }^2}x}}dx} \)

Đặt

\(\eqalign{  & \left\{ \matrix{  u = x \hfill \cr   dv = {1 \over {{{\cos }^2}x}}dx \hfill \cr}  \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{  du = dx \hfill \cr   v = \tan x \hfill \cr}  \right.  \cr   &  \Rightarrow {I_1} = x\tan x - \int {\tan xdx}  + {C_1} = x\tan x - \int {{{\sin x} \over {\cos x}}dx}  + {C_1} = x\tan x + \int {{{d\left( {\cos x} \right)} \over {\cos x}}}  + {C_1} = x\tan x + \ln \left| {\cos x} \right| + {C_1}.  \cr   &  \Rightarrow I = x\tan x + \ln \left| {\cos x} \right| + {C_1} - {{{x^2}} \over 2} - {C_2} = x\tan x + \ln \left| {\cos x} \right| - {{{x^2}} \over 2} + C. \cr} \)

Chọn A.