Tính thể tích hình xuyến do quay hình tròn \(\left...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Rút các hàm số theo biến x: \(y=f\left( x \right)\) và \(y=g\left( x \right)\).

Xác định các đường giới hạn.

Áp dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay khi xoay hình phẳng giới hạn bởi các đường \(y=f\left( x \right),x=a,x=b\) quanh trục Ox là: \(V=\pi .\int\limits_{a}^{b}{{{f}^{2}}\left( x \right)\text{d}x}.\)

Giải chi tiết:

Xét \(\left( C \right):{{x}^{2}}+{{\left( y-2 \right)}^{2}}=1\) có tâm \(I\left( 0;2 \right),\) bán kính \(R=1.\) Như vậy

Nửa \(\left( C \right)\) trên ứng với \(2\le y\le 3\) có phương trình \(y={{f}_{1}}\left( x \right)=2+\sqrt{1-{{x}^{2}}}\) với \(x\in \left( -\,1;1 \right).\) Nửa \(\left( C \right)\) dưới ứng với \(1\le y\le 2\) có phương trình \(y={{f}_{2}}\left( x \right)=2-\sqrt{1-{{x}^{2}}}\) với \(x\in \left( -\,1;1 \right).\)

Khi đó, thể tích khối tròn xoay cần tính là

\(V=\pi \int\limits_{-\,1}^{1}{\left( {{\left( 2+\sqrt{1-{{x}^{2}}} \right)}^{2}}-{{\left( 2-\sqrt{1-{{x}^{2}}} \right)}^{2}} \right)\,\text{d}x}=8\pi \int\limits_{-\,1}^{1}{\sqrt{1-{{x}^{2}}}\,\text{d}x}.\)

Đặt \(x=\sin t\Leftrightarrow \text{d}x=\cos t\,\text{d}t\) và đổi cận \(\left\{ \begin{align}  & x=-\,1\,\Rightarrow \,t=-\frac{\pi }{2} \\ & x=1\,\Rightarrow \,t=\frac{\pi }{2} \\\end{align} \right..\)

Khi đó \(V=8\pi \int\limits_{-\,\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}{\sqrt{{{\cos }^{2}}t}.\cos t\,\text{d}t}=4\pi \int\limits_{-\,\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}{\left( 1+\cos 2t \right)\,\text{d}t}=4\pi \left. \left( t+\frac{1}{2}\sin 2t \right) \right|_{-\,\frac{\pi }{2}}^{\frac{\pi }{2}}=4{{\pi }^{2}}.\)

Chọn B.