Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Viết phương trình tiếp tuyến tại các điểm A và B.

Giải phương trình hoành độ giao điểm của các đồ thị hàm số để tìm các cận của tích phân.

Áp dụng công thức tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \(y = f\left( x \right),y = g\left( x \right),x = a,x = b\) là \(S = \int\limits_a^b {\left| {f\left( x \right) - g\left( x \right)} \right|dx} \).

Giải chi tiết:

\(y' = 2x - 4 \Rightarrow \) tiếp tuyến \({d_1}:y = y'\left( 1 \right).\left( {x - 1} \right) + 2 \Leftrightarrow y =  - \,2\left( {x - 1} \right) + 2 \Leftrightarrow y =  - \,2x + 4.\)

Tiếp tuyến \({d_2}:y = y'\left( 4 \right).\left( {x - 4} \right) + 5 \Leftrightarrow y = 4\left( {x - 4} \right) + 5 \Leftrightarrow y = 4x - 11.\)

Phương trình hoành độ giao điểm của hai tiếp tuyến là \( - \,2x + 4 = 4x - 11 \Leftrightarrow x = {5 \over 2}.\)

Vậy \(S = \int\limits_1^{{5 \over 2}} {\left| {{x^2} - 4x + 5 - \left( { - \,2x + 4} \right)} \right|\,{\rm{d}}x}  + \int\limits_{{5 \over 2}}^4 {\left| {{x^2} - 4x + 5 - \left( {4x - 11} \right)} \right|{\rm{d}}x} .\)

\(\eqalign{  &  = \int\limits_1^{{5 \over 2}} {\left| {{x^2} - 2x + 1} \right|\,{\rm{d}}x}  + \int\limits_{{5 \over 2}}^4 {\left| {{x^2} - 8x + 16} \right|{\rm{d}}x}  = \left( {{{{x^3}} \over 3} - {x^2} + x} \right)\left| \matrix{  ^{{5 \over 2}} \hfill \cr   _1 \hfill \cr}  \right. + \left( {{{{x^3}} \over 3} - 4{x^2} + 16x} \right)\left| \matrix{  ^4 \hfill \cr   _{{5 \over 2}} \hfill \cr}  \right. = {9 \over 4}  \cr   &  \Rightarrow \left\{ \matrix{  a = 9 \hfill \cr   b = 4 \hfill \cr}  \right. \Rightarrow a + b = 13. \cr} \)

Chọn C.