Nghiệm của phương trình \(\sin x\cos \left( {{\pi ...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- Sử dụng các công thức \(\eqalign{& \sin \left( {a \pm b} \right) = \sin a\cos b \pm \cos a\sin b \cr & \cos \left( {a \pm b} \right) = \cos a\cos b \mp \sin a\sin b \cr} \), đưa phương trình về dạng phương trình đẳng cấp bạc hai.

- TH1: Kiểm tra xem \(\cos x=0\,\,\left( \sin x=\pm 1 \right)\) có thỏa mãn là nghiệm của không?

- TH2: Khi \(\cos x\ne 0\). Chia 2 vế phương trình cho \({{\cos }^{2}}x\).

Giải chi tiết:

Hướng dẫn giải chi tiết

\(\eqalign{ & \,\,\,\,\,\,\sin x\cos \left( {{\pi \over 2} - x} \right) + 2\sin \left( {\pi + x} \right)\cos x + \sin \left( {{{3\pi } \over 2} - x} \right)\cos \left( {\pi + x} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow \sin x\left( {\cos {\pi \over 2}\cos x + \sin {\pi \over 2}\sin x} \right) + 2\left( {\sin \pi \cos x + \cos \pi \sin x} \right)\cos x + \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\left( {\sin {{3\pi } \over 2}\cos x - \cos {{3\pi } \over 2}\sin x} \right)\left( {\cos \pi \cos x - \sin \pi \sin x} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow {\sin ^2}x - 2\sin x\cos x + {\cos ^2}x = 0\,\,\,\left( * \right) \cr} \)

Trường hợp 1: \(\cos x = 0 \Leftrightarrow x = {\pi  \over 2} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\). Khi đó  \({\sin ^2}x = 1\)

Thay vào phương trình ta có:\(1 - 2.0 + 0 = 0 \Leftrightarrow 1 = 0\,\left( {Vô \, lý} \right)\)

\( \Rightarrow x = {\pi  \over 2} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\) không là nghiệm của phương trình.

Trường hợp 2: \(\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne {\pi  \over 2} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\). Chia cả 2 vế của phương trình (*) cho \({\cos ^2}x\) ta được:

\(\eqalign{ & {{{{\sin }^2}x} \over {{{\cos }^2}x}} - 2{{\sin x} \over {\cos x}} + 1 = 0 \Leftrightarrow {\tan ^2}x - 2\tan x + 1 = 0 \Leftrightarrow {\left( {\tan x - 1} \right)^2} = 0 \cr & \Rightarrow \tan x = 1 \Leftrightarrow x = {\pi \over 4} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right) \cr} \)

Chọn B.