Phương trình \(2\sqrt 3 {\cos ^2}x + 6\sin x\cos x...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

- TH1: Kiểm tra xem \(\cos x=0\,\,\left( \sin x=\pm 1 \right)\) có thỏa mãn là nghiệm của không?

- TH2: Khi \(\cos x\ne 0\). Chia 2 vế phương trình cho \({{\cos }^{2}}x\).

Giải chi tiết:

Trường hợp 1: \(\cos x = 0 \Leftrightarrow x = {\pi  \over 2} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\). Khi đó  \({\sin ^2}x = 1\)

Thay vào phương trình ta có: \(2\sqrt 3 .0 + 6.0 = 3 + \sqrt 3 \)(Vô lý)

\( \Rightarrow x = {\pi  \over 2} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\) không là nghiệm của phương trình.

Trường hợp 2: \(\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne {\pi  \over 2} + k\pi \,\,\left( {k \in Z} \right)\). Chia cả 2 vế của phương trình cho \({\cos ^2}x\) ta được:

\(\eqalign{ & 2\sqrt 3 + 6{{\sin x} \over {\cos x}} = {{3 + \sqrt 3 } \over {{{\cos }^2}x}} \cr & \Leftrightarrow 2\sqrt 3 + 6\tan x = \left( {3 + \sqrt 3 } \right)\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right) \cr & \Leftrightarrow \left( {3 + \sqrt 3 } \right){\tan ^2}x - 6\tan x + 3 - \sqrt 3 = 0 \cr} \)

Đặt \(\tan x=t\) khi đó phương trình có dạng

\(\eqalign{
& \left( {3 + \sqrt 3 } \right){t^2} - 6t + 3 - \sqrt 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = 1 \hfill \cr
t = 2 - \sqrt 3 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\tan x = 1 \hfill \cr
\tan x = 2 - \sqrt 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = {\pi \over 4} + k\pi \hfill \cr
x = \arctan \left( {2 - \sqrt 3 } \right) + k\pi \hfill \cr} \right.\,\,\left( {k \in Z} \right) \cr} \)

Vậy phương trình có 2 họ nghiệm.

Chọn C.