Cho tích phân \(I = \int\limits_0^\pi  {\sqrt {1 -...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Dựa vào dấu của biểu thức trên khoảng để phá trị tuyệt đối và các phương pháp tính tích phân.

Giải chi tiết:

Lời giải:

Biến đổi \(I\) về dạng

\(I = \int\limits_0^\pi  {\sqrt {1 - \sin 2x} \,{\rm{d}}x}  = \int\limits_0^\pi  {\sqrt {{{\left( {\sin x - \cos x} \right)}^2}} \,{\rm{d}}x}  = \int\limits_0^\pi  {\left| {\sin x - \cos x} \right|\,{\rm{d}}x}  = \sqrt 2 \int\limits_0^\pi  {\left| {\sin \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right)} \right|\,{\rm{d}}x} .\)

Vì \(0 \le x \le \pi  \Leftrightarrow  - \dfrac{\pi }{4} \le x - \dfrac{\pi }{4} \le \dfrac{{3\pi }}{4},\) do đó ta cần chia thành hai khoảng

Với \( - \dfrac{\pi }{4} \le x - \dfrac{\pi }{4} \le 0 \Leftrightarrow 0 \le x \le \dfrac{\pi }{4},\) khi đó \(\sin \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right) \le 0.\)

Với \(0 \le x - \dfrac{\pi }{4} \le \dfrac{{3\pi }}{4} \Leftrightarrow \dfrac{\pi }{4} \le x \le \pi ,\) khi đó \(\sin \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right) \ge 0.\)

Từ đó, ta được \(I = \sqrt 2 \left[ { - \,\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{4}} {\sin \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right){\rm{d}}x}  + \int\limits_{\dfrac{\pi }{4}}^\pi  {\sin \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right){\rm{d}}x} } \right] = \sqrt 2 \left[ {\left. {\cos \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right)} \right|_0^{\dfrac{\pi }{4}} - \left. {\cos \left( {x - \dfrac{\pi }{4}} \right)} \right|_{\dfrac{\pi }{4}}^\pi } \right] = 2\sqrt 2 .\)

Vậy \(I = a\sqrt 2  + b = 2\sqrt 2  \Rightarrow a = 2;\,\,b = 0 \Rightarrow P = {a^2}- 2b = 4.\)

Chọn C.