Cho biết phương trình \({{x}^{2}}-mx+\left( m-1 \r...

C

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Phương pháp:

Áp dụng hệ thức Vi-et để biến đổi \(Q\) thành biểu thức phụ thuộc \(m\).

Biến đổi biểu thức vừa có được thành phương trình bậc hai với ẩn \(m\) và tham số \(Q\) rồi tìm điều kiện để phương trình bậc hai có nghiệm. Từ đó suy ra GTNN của \(Q\)

Giải chi tiết:

Lời giải chi tiết.

Ta viết lại: \(Q=\frac{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+3{{x}_{1}}{{x}_{2}}+2}{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+4{{x}_{1}}{{x}_{2}}+3}=\frac{{{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}+{{x}_{1}}{{x}_{2}}+2}{{{\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}} \right)}^{2}}+2{{x}_{1}}{{x}_{2}}+3}.\)

Áp dụng định lý Vi-et ta có \(\left\{ \begin{align} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}=m \\ & {{x}_{1}}{{x}_{2}}=m-1 \\ \end{align} \right.\)

Thay vào \(Q\) ta nhận được \(Q=\frac{{{m}^{2}}+\left( m-1 \right)+2}{{{m}^{2}}+2\left( m-1 \right)+3}=\frac{{{m}^{2}}+m+1}{{{m}^{2}}+2m+1}.\)

Ta có

\(Q=\frac{{{m}^{2}}+m+1}{{{m}^{2}}+2m+2}\Leftrightarrow Q\left( {{m}^{2}}+2m+1 \right)={{m}^{2}}+m+1\Leftrightarrow \left( Q-1 \right){{m}^{2}}+\left( 2Q-1 \right)m+Q-1=0\,\,\,\left( 1 \right).\)

\(Q\) thỏa mãn \(Q=\frac{{{m}^{2}}+m+1}{{{m}^{2}}+2m+1}\,\,\left( m\ne -1 \right)\) khi và chỉ khi \(\left( 1 \right)\) có nghiệm.

Trường hợp 1. \(Q=1\) khi đó \(\left( 1 \right)\) trở thành \(\left( 1-1 \right){{m}^{2}}+\left( 2.1-1 \right)m+\left( 1-1 \right)=0\Leftrightarrow m=0.\)

Trường hợp 2. \(Q\ne 1.\) Phương trình \(\left( 1 \right)\) có nghiệm khi và chỉ khi

\(\begin{array}{l}\,\,\,\,\,\,\Delta \ge 0 \Leftrightarrow {\left( {2Q - 1} \right)^2} - 4\left( {Q - 1} \right)\left( {Q - 1} \right) \ge 0\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow {\left( {2Q - 1} \right)^2} - {\left( {2Q - 2} \right)^2} \ge 0\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow \left[ {\left( {2Q - 1} \right) - \left( {2Q - 2} \right)} \right]\left[ {\left( {2Q - 1} \right) + \left( {2Q - 2} \right)} \right] \ge 0\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow 1.\left( {4Q - 3} \right) \ge 0\\\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \Leftrightarrow Q \ge \frac{3}{4}\end{array}\)

Với \(Q=\frac{3}{4}.\) Phương trình \(\left( 1 \right)\) trở thành

\(\left( \frac{3}{4}-1 \right){{m}^{2}}+\left( 2.\frac{3}{4}-1 \right)m+\frac{3}{4}-1=0\Leftrightarrow -\frac{1}{4}{{m}^{2}}+\frac{1}{2}m-\frac{1}{4}=0\Leftrightarrow {{m}^{2}}-2m+1=0\Leftrightarrow m=1.\)

Vậy giá trị nhỏ nhất của \(Q\) là \(\frac{3}{4}\) đạt được tại \(m=1\)

Chọn đáp án C.