a) Trong kỳ kiểm tra môn Toán một lớp gồm 3 tổ A,...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Giải chi tiết:

a) Gọi: số học sinh ở tổ B là x (học sinh)

         số học sinh ở tổ C là y (học sinh)

           \(\left( {x,y \in Z*} \right)\)

Do điểm trung bình của tổ A và B là 8,9 nên ta có phương trình:

\(\begin{array}{l}8,9 = \frac{{9.10 + 8,8.x}}{{10 + x}}\\ \Leftrightarrow 8,9\left( {10 + x} \right) = 90 + 8,8x\\ \Leftrightarrow 89 + 8,9x = 90 + 8,8x\\ \Leftrightarrow 0,1x = 1\\ \Leftrightarrow x = 10\left( n \right)\end{array}\)

Vậy số học sinh ở tổ B là 10 học sinh.

Tương tự, ta có do điểm trung bình của tổ B và C là 8,2 nên ta có phương trình:

\(\begin{array}{l}8,2 = \frac{{8,8.10 + 7,8.y}}{{10 + y}}\\ \Leftrightarrow 8,2\left( {10 + y} \right) = 88 + 7,8y\\ \Leftrightarrow 82 + 8,2y = 88 + 7,8y\\ \Leftrightarrow 0,4y = 6\\ \Leftrightarrow y = 15\left( n \right)\end{array}\)

Vậy số học sinh ở tổ C là 15 học sinh.

Số học sinh của toàn lớp là: \(10 + 10 + 15 = 35\) (học sinh)Điểm trung bình của cả lớp là:  \(\dfrac{{9.10 + 8,8.10 + 7,8.15}}{{10 + 10 + 15}} = 8,43\)

b) Tam giác ABC đều nên AH là đường cao cũng đồng thời là đường trung tuyến.

\( \Rightarrow H\) là trung điểm BC  \( \Rightarrow BH = \dfrac{{BC}}{2} = \dfrac{a}{2}\)

Xét tam giác vuông ABH, áp dụng định lý Pitago, ta có:

\(A{H^2} = A{B^2} - B{H^2} = {a^2} - {\left( {\dfrac{a}{2}} \right)^2} = \dfrac{{3{a^2}}}{4} \Rightarrow AH = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{2}\)

Gọi O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC.Do tam giác ABC đều nên O là giao điểm của 3 đường phân giác cũng là giao điểm 3 đường trung tuyến.

\( \Rightarrow O\)là trọng tâm tam giác ABC

\( \Rightarrow OH = \dfrac{1}{3}AH = \dfrac{1}{3}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}\)

Thể tích hình nón:

\({V_1} = \dfrac{1}{3}\pi B{H^2}.AH = \dfrac{1}{3}\pi {\left( {\dfrac{a}{2}} \right)^2}.\dfrac{{a\sqrt 3 }}{2} = \dfrac{{\pi {a^3}\sqrt 3 }}{{24}}\)

Thể tích hình cầu là:

\({V_2} = \dfrac{4}{3}\pi .{\left( {OH} \right)^3} = \dfrac{4}{3}\pi {\left( {\dfrac{{a\sqrt 3 }}{6}} \right)^3} = \dfrac{{\pi {a^3}\sqrt 3 }}{{54}}\)

Tính thể tích phần hình nón bên ngoài hình cầu:

\(V = {V_1} - {V_2} = \dfrac{{\pi {a^3}\sqrt 3 }}{{24}} - \dfrac{{\pi {a^3}\sqrt 3 }}{{54}} = \dfrac{{5\pi {a^3}\sqrt 3 }}{{216}}\)