Cho \(a>1,b>1.\) Giá trị nhỏ nhất của \(Q=\f...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Phương pháp:

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương \(\frac{{{a}^{2}}}{b-1},\frac{{{b}^{2}}}{a-1}\)

Giải chi tiết:

Lời giải chi tiết.

Do \(a,b>1\) nên ta áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số dương \(\frac{{{a}^{2}}}{b-1},\frac{{{b}^{2}}}{a-1}\)ta nhận được \(Q=\frac{{{a}^{2}}}{b-1}+\frac{{{b}^{2}}}{a-1}\ge 2\sqrt{\frac{{{a}^{2}}}{b-1}\frac{{{b}^{2}}}{a-1}}=2\frac{a}{\sqrt{a-1}}.\frac{b}{\sqrt{b-1}}.\)

Lại có \(\frac{a}{\sqrt{a-1}}=\frac{a-1+1}{\sqrt{a-1}}=\sqrt{a-1}+\frac{1}{\sqrt{a-1}}\ge 2\sqrt{\sqrt{a-1}.\frac{1}{\sqrt{a-1}}}=2\)

\(\frac{b}{\sqrt{b-1}}=\frac{b-1+1}{\sqrt{b-1}}=\sqrt{b-1}+\frac{1}{\sqrt{b-1}}\ge 2\sqrt{\sqrt{b-1}.\frac{1}{\sqrt{b-1}}}=2\)

Do đó \(Q\ge 2\frac{a}{\sqrt{a-1}}.\frac{b}{\sqrt{b-1}}\ge 2.2.2=8.\)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi \(a=2,b=2.\)

Chọn đáp án D.