Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Tìm quỹ tích các...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Sử dụng phương pháp cung chứa góc.

Hai điểm B, C cố định. Quỹ tích các điểm M thỏa mãn \(\widehat{BMC}=\alpha \) không đổi là 2 cung chứa góc \(\alpha \) dựng trên BC.

Giải chi tiết:

Vẽ tam giác MAD vuông cân tại A (M và D khác phía đối với AC).

Xét \(\Delta BAM\) và \(\Delta CAD\) có:

\(AM=AD\) (vì tam giác MAD vuông cân tại A)

\(BA=AC\) (vì tam giác ABC vuông cân tại A)

\(\widehat{MAB}=\widehat{CAD}\) (vì cùng bằng \({{90}^{{}^\circ }}-\widehat{MAC}\) )

Suy ra \(\Delta BAM=\Delta CAD(c.g.c)\) nên ta có \(BM=CD\).

Ta có:  \(2M{{A}^{2}}=M{{B}^{2}}-M{{C}^{2}}\)

\(\begin{align}  & \Rightarrow 2M{{A}^{2}}+M{{C}^{2}}=M{{B}^{2}} \\  & \Rightarrow {{\left( MA\sqrt{2} \right)}^{2}}+M{{C}^{2}}=C{{D}^{2}} \\  & \Rightarrow M{{D}^{2}}+M{{C}^{2}}=C{{D}^{2}} \\ \end{align}\)

nên \(\widehat{DMC}={{90}^{0}}\).  Suy ra \(\widehat{AMC}={{135}^{0}}\).  Mà A, C cố định

\(\Rightarrow \) Quỹ tích điểm M là cung chứa góc \({{135}^{0}}\) dựng trên AC, trừ hai điểm A và C.

 Chọn B.