Cho \(A,B,C\) là ba đỉnh của tam giác đều cạnh \(...

B

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

 Diện tích giới hạn bởi ba đường cong là diện tích ba hình viên phân và diện tích tam giác đều ABC.

Giải chi tiết:

 Giả sử AH là đường cao của tam giác ABC, ta có:

\(AH=AB.\sin {{60}^{0}}=\frac{\sqrt{3}}{2}a\)

\({{S}_{ABC}}=\frac{1}{2}\text{AH}.BC=\frac{1}{2}\frac{a\sqrt{3}}{2}.a=\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}\) 

Mặt khác: \({{S}_{qABC}}=\frac{\pi {{a}^{2}}.60}{360}=\frac{\pi {{a}^{2}}}{6}\)

Suy ra diện tích hình viên phân giới hạn bởi cung \(\overset\frown{AB}\)  và đoạn AB là:

\({{S}_{qABC}}-{{S}_{ABC}}=\frac{\pi {{a}^{2}}}{6}-\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}\)

Diện tích giới hạn bởi ba đường cong là diện tích ba hình viên phân bằng nhau và diện tích tam giác đều ABC. Vậy diện tích giới hạn  bằng:

\(S=3\left( \frac{\pi {{a}^{2}}}{6}-\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4} \right)+\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{4}=\frac{\pi {{a}^{2}}}{2}-\frac{{{a}^{2}}\sqrt{3}}{2}=\frac{{{a}^{2}}\left( \pi -\sqrt{3} \right)}{2}\)

Khi \(a=2\) ta có \(S=2\pi -2\sqrt{3}\)

Chọn B