Với giá trị nào của tham số \(m\) thì phương...

D

- Hướng dẫn giải

Phương pháp giải:

Áp dụng hệ thức Viet cho phương trình bậc ba và giải điều kiện nghiệm

Giải chi tiết:

Ta chứng minh nếu \({{x}_{1}}\), \({{x}_{2}}\), \({{x}_{3}}\) là nghiệm của phương trình \({{x}^{3}}-m{{x}^{2}}-6x-8=0\) thì \(\left\{ \begin{align} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}=m \\& {{x}_{1}}{{x}_{2}}{{x}_{3}}=8 \\\end{align} \right.\).

Thật vậy \({{x}^{3}}-m{{x}^{2}}-6x-8=\left( x-{{x}_{1}} \right)\left( x-{{x}_{2}} \right)\left( x-{{x}_{3}} \right)\)

\(\Leftrightarrow {{x}^{3}}-m{{x}^{2}}-6x-8={{x}^{3}}-\left( {{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}} \right){{x}^{2}}+\left( {{x}_{1}}{{x}_{2}}+{{x}_{2}}{{x}_{3}}+{{x}_{3}}{{x}_{1}} \right)x-{{x}_{1}}{{x}_{2}}{{x}_{3}}\)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{align} & {{x}_{1}}+{{x}_{2}}+{{x}_{3}}=m \\& {{x}_{1}}{{x}_{2}}{{x}_{3}}=8 \\\end{align} \right.\).

Điều kiện cần: Phương trình \({{x}^{3}}-m{{x}^{2}}-6x-8=0\) có ba nghiệm thực \({{x}_{1}}<{{x}_{2}}<{{x}_{3}}\) lập thành một cấp số nhân \(\Leftrightarrow {{x}_{1}}.{{x}_{3}}={{x}_{2}}^{2}\) \(\Leftrightarrow {{x}_{1}}.{{x}_{2}}.{{x}_{3}}={{x}_{2}}^{3}\)\(\Leftrightarrow 8={{x}_{2}}^{3}\)\(\Leftrightarrow {{x}_{2}}=2\).

Vậy phương trình \({{x}^{3}}-m{{x}^{2}}-6x-8=0\) phải có nghiệm bằng \(2\). Thay \(x=2\) vào phương trình ta có \(m=-3\).

Điều kiện đủ: Thử lại với \(m=-3\) ta có \({{x}^{3}}+3{{x}^{2}}-6x-8=0\)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{align} & x=-\,4 \\& x=2 \\& x=-1 \\\end{align} \right.\) (thỏa yêu cầu bài toán).

Chọn D